Методические разработки
методическая разработка по алгебре на тему
Методические разработки для самостоятельной работы студентов техникума по математике: 1 курс (общеобразовательноя подготовка); 2 курс (профильная подготовка); заочное отделение.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Итоговый проект по теме:
«Разработка урока в 9 предпрофильном
физико – математическом классе
по решению задач с параметрами».
Выполнила: Пашикина С.И.,
учитель математики МОУ лицей
г. Железнодорожный Московской области
2012 год
Разработка урока по теме «Параметры» содержит материалы для обобщения знаний выпускников основной школы, полученных ими на протяжении всех лет занятий математикой, а также памятки для решения таких заданий.
Как известно, во 2 части задания для проведения государственной итоговой аттестации для выпускников основной школы (ГИА) одним из заданий является задача с параметром. Но в курсе основной школы задачам с параметрами не уделяется достаточно внимания. Одним из способов решения этой проблемы можно предложить такой обобщающий урок в рамках повторения курса основной школы и подготовки к итоговой аттестации.
Разработка урока в 9 предпрофильном физико - математическом классе по теме «Параметры».
Цель урока:
- систематизировать и обобщить ранее изученный в основной школе материал по данной теме и рассмотреть его на более высоком уровне сложности.
Задачи:
- изучить методы и способы решения некоторых типов задач,
- развивать логическое мышление школьников,
- развивать навыки само и взаимоконтроля
Оборудование, необходимое для урока: компьютер и мультимедийная установка.
Раздаточный материал для каждого ученика:
1. Памятка для решения задач с параметрами (приложение №1)
2. Карточка с заданиями с параметрами для домашней работы
(приложение №2)
Ход урока:
1. Работа с памяткой для решения задач с параметрами по вопросам:
а) что такое «параметр»?
б) что значит решить уравнение?
2. Решение устных упражнений с параметрами (приложение№3) в форме фронтальной работы.
3. Анализ алгоритма решения линейных уравнений с параметром (приложение №1)
4. Самостоятельное решение линейного уравнения с параметром с использованием разобранного алгоритма, с последующей проверкой:
Решить уравнение с параметром: 2а(а–2) х = а–2
1) «Контрольными» значениями являются значения, удовлетворяющие условию:
2а (а–2)=0
решим это уравнение относительно переменной а.
2а=0 или а–2=0, откуда а=0, а=2.
2) Решим первоначальное уравнение при «контрольных» значениях параметра.
При а=0 имеем 0⋅ х= –2, но это не имеет место ни при каких действительных значениях х, то есть в этом случае уравнение корней не имеет.
При а=2 имеем 0⋅х=0. Это справедливо при любом значении х, значит, корнем уравнения является любое действительное число х.
3) Решим первоначальное уравнение, в случае, когда а≠0 и а≠2, тогда 2а(а–2)≠0 и обе части уравнения можно поделить на 2а(а–2), получим:
, так как а≠2, то дробь можно сократить на (а–2), тогда имеем .
Ответ: при а=0, корней нет;
при а=2, корень – любое действительное число;
при а≠0, а≠2, .
5. Решение двух несложных уравнений (по вариантам), при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничениями, накладываемыми на переменную и параметр. На доске выполнить проверку решения.
1) = 1.
Решение.
Очевидно х ≠ 2. Умножив обе части уравнения на (х – 2) ≠0, получим
а = х – 2, или х = а + 2.
Затем проверим, нет ли таких значений параметра а, при которых найденное значение х было бы равно числу 2, т.е. решим уравнение
2 = а + 2 относительно а.
Получим, что при а = 0 х = 2, но число 2 не входит в область определения исходного уравнения, следовательно, не может быть его корнем.
Ответ: при а = 0 корней нет
при а ≠ 0 х = а + 2.
2) + 3 = 5 – х
Решение.
Так как знаменатель дроби не должен обращаться в нуль, то а = 0 не входит в область допустимых значений параметра а, поскольку при подстановке а = 0 в уравнение (2) выражение не имеет смысла
+ х = 2, х(
+ 1) = 2
Рассмотрим два случая:
1) + 1 = 0 2)
+ 1 ≠ 0 а + 1 = 0 а ≠ -1, а ≠ 0
а = -1 х =
0·х = 2
Нет корней
Ответ: при а = -1 корней нет
при а ≠ -1, а ≠ 0 х =
6. Домашнее задание:
а) разобрать алгоритм решения квадратного уравнения с параметром по карточке – памятке (приложение №1);
б) выполнить три любых уравнения из первых шести карточки (приложение №2).
Приложение № 1
Памятка для решения задач с параметрами.
Параметр – это неизвестное, но фиксированное число.
Решить уравнение с параметрами – это значит:
- Указать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.
- Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение определяет корень уравнения.
В процессе решения этого уравнения выделяют значение параметра, при котором происходит качественное изменение уравнения. Такое значение параметра назовем «контрольным».
Алгоритм решения:
1. Определить «контрольные» значения параметра.
2. Решить уравнение относительно х, при контрольных значениях параметра.
3. Решить уравнение относительно х, при значениях, отличных от «контрольных».
4. Записать ответ в виде:
Ответ: 1) при значениях параметра ... , уравнение имеет корни ... ;
2) при значениях параметра ... , уравнение имеет корни ... ;
3) при значениях параметра ... , уравнение корней не имеет
Алгоритм решения:
- Найти значения параметров и неизвестной, при которых уравнение не имеет смысла (если, конечно, такие есть).
- Привести уравнение к стандартному виду квадратного уравнения (если это необходимо).
- Найти «контрольные» значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х2.
- Решить уравнение при этих значениях а, проверить, все ли найденные корни соответствуют п.1.
- Найти «контрольные» значения параметра, обращающие в нуль дискриминант уравнения и найти корни уравнения при этом значении параметра, после чего проверить удовлетворяют ли они п.1.
- Записать корни уравнения при значениях параметра, для которых D>0, проверить, удовлетворяют ли они п.1.
7. Записать ответ.
Приложение № 2.
Упражнения для домашней работы
1) При каких значениях k уравнение имеет корни?
2) Найти все целые значения k, при которых уравнение имеет два корня?
3) При каком значении m уравнение имеет два корня?
4) При каких значениях a корни уравнения принадлежат промежутку ?
5) При каких значениях a один корень уравнениябольше 0,5, а другой меньше 0,5?
6) При каких значениях a уравнение имеет два различных положительных корня?
7) При каких значениях а неравенство выполняется при всех значениях х?
8) При каких значениях а неравенство не выполняется ни при всех значениях х?
9) При каких значениях n парабола целиком расположена ниже прямой ?
10) При каких значениях n вершины парабол и расположены по разные стороны от оси х?
Приложение № 3
Презентация.
Содержание слайдов.
Варкентина Т.И. Решение задач, содержащих параметры.(методический блок для педагогов элективного курса)
Кармакова Т.С. (МИФ-2, №4, 2005) Задачи с параметрами
Карпова И. В. Решение уравнений с параметрами
Посоева С. В. Уравнения с параметрами. Программа элективного курса по математике.
Предварительный просмотр:
ГБОУ СПО МО «МОСКОВСКИЙ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ
ТЕХНИКУМ»
Утверждаю: Зам. директора техникума по учебной работе ______________Л.В. Тягова «___»_____________2014 г. |
Методические рекомендации к внеаудиторной самостоятельной работе студентов по дисциплине
«Математика»
по специальности 210422 Радиотехнические информационные системы
г. Железнодорожный
2013-2014 уч.г.
Методические рекомендации к внеаудиторной самостоятельной работе студентов по учебной дисциплине разработаны на основе Федерального государственного образовательного стандарта и действующей рабочей программы по специальности среднего профессионального образования
210422 радиотехнические информационные системы
Организация-разработчик: ГБОУ СПО МО «МОСКОВСКИЙ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»
Разработчик: Пашикина С.И., преподаватель математики МГМТ
Рассмотрена и одобрена на заседании предметной цикловой комиссии радиотехнических и естественнонаучных дисциплин
протокол № 1 от «29» августа 2014 г.
Председатель: _____________В.П. Куняева
Рекомендована Методическим советом Государственного образовательного учреждения среднего профессионального образования Московской области «Московский гидрометеорологический техникум» (ГБОУ СПО МО МГМТ)
Протокол №1 от «29» августа 2014 г.
Пояснительная записка
Внеаудиторная самостоятельная работа является одним из видов учебных занятий обучающихся техникума.
Основные цели внеаудиторной самостоятельной работы по учебной дисциплине «Математика»:
- овладение знаниями: аналитическая работа с текстом (учебника, первоисточника, дополнительной литературы), составление опорного конспекта;
- формирование умений: выполнение графических работ, решение задач и упражнений по образцу; решение вариативных задач и упражнений;
- систематизация и закрепление знаний и практических умений обучающихся;
- углубление и расширение теоретических знаний, формирование умений использовать справочную и дополнительную литературу;
- развитие познавательных способностей и активности обучающихся, творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;
На внеаудиторную самостоятельную работу в курсе изучения дисциплины «Математика» отводится 146 часов. Методические рекомендации помогут студентам целенаправленно изучать материал по теме, определять свой уровень знаний и умений при выполнении самостоятельной работы.
Тематический план внеаудиторной самостоятельной работы.
№ | Тема (раздел) | Виды работы | Форма организации | Методы контроля | Кол-во часов |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Развитие понятия о числе. | Работа над контрольными вопросами: 1. Формулы возведения в степень комплексного числа, записанного в алгебраической форме. Примеры. 2. Преобразование выражений, содержащих степени комплексного числа. [1] стр.16-23 Решение вариативных задач по теме | Групповая групповая | Устный опрос Решение заданий практического занятия | 4 6 | |
Корни, степени и логарифмы. | Самостоятельное изучение темы: «Алгоритмы решения показательных и логарифмических уравнений с переменной в основании». Составить опорный конспект. [12] стр. 123-126 Сообщение по теме: «Число e –основание натурального логарифма». [12] часть1, глава2, §17. Решение вариативных задач по теме. | групповая индивидуальная | Устный опрос Решение заданий практического занятия Представление сообщения на занятии | 4 6 6 | |
Прямые и плоскости в пространстве. | Графическая работа: «Выполнение чертежей на построение сечений многогранника», индивидуальные задания для каждого учащегося (чертежная бумага формат А4). | групповая | Письменная проверка работ, обсуждение типовых ошибок | 14 | |
Комбинаторика. | Сообщение по теме: «Диаграммы Эйлера-Венна и их применение в теории множеств». [1], [5], [12], [14], интернет-ресурсы. Решение вариативных задач. | групповая | Представление сообщения на занятии | 2 4 | |
Координаты и векторы | Презентации по теме: « Вычисление расстояний и углов внутри многогранников». [6], [18], интернет-ресурсы. | групповая | Представление презентаций на занятии | 10 | |
Основы тригонометрии | Графическая работа по теме: «Преобразование графиков тригонометрических функций». Индивидуальное задание для каждого учащегося (выполняется на бумаге с миллиметровой сеткой). [1] стр. 107-112, 133-136. | групповая | Письменная проверка работ обсуждение типовых ошибок | 16 | |
Функции. Их свойства и графики. | Графическая работа по теме: «Преобразование графиков функций». Индивидуальное задание для каждого учащегося (выполняется на бумаге с миллиметровой сеткой). | групповая | Письменная проверка работ обсуждение типовых ошибок | 12 | |
Многогранники | Презентации по темам: «Правильные многогранники. Теорема Эйлера» «Платоновы тела» «Архимедовы тела» [1] стр.152-156, [12] стр., часть 3, глава 13, §85, интернет –ресурсы. Решение вариативных задач | индивидуальная | Представление презентаций на занятии | 4 4 | |
Тела и поверхности вращения. | Сообщение по теме: «Определение тел вращения через коническую, цилиндрическую и сферическую поверхность». [6] , [18] , [19], [20] , [24], интернет-ресурсы. | индивидуальная | Представление сообщения на занятии | 4 | |
Начала математического анализа. | Аналитическая работа с текстом: Составить таблицу замечательных пределов. [12] часть1, глава 4, §43. Составить таблицу эквивалентных функций. Решение вариативных задач. | групповая | Устный опрос Решение заданий практического занятия | 4 8 | |
Измерения в геометрии. | Самостоятельное изучение темы: «Вычисление объёма тел вращения с помощью определённого интеграла». Составить опорный конспект. [1] стр.205-211. Привести примеры. | групповая | Устный опрос Решение заданий практического занятия | 12 | |
Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики | Решение вариативных задач на вычисление статистических величин. | групповая | Письменная проверка работ обсуждение типовых ошибок | 6 | |
Уравнения и неравенства. | Аналитическая работа с текстом: Составление схем алгоритмов решения уравнений, содержащих модуль. [12] часть1,глава 1, §5 Привести пример решения на каждую схему. Решение вариативных задач | групповая | Устный опрос Решение заданий практического занятия | 6 8 | |
Итоговое повторение. | Решение задач, подобных экзаменационным. | групповая | Письменная проверка работ обсуждение типовых ошибок | 6 | |
Всего | 146 |
Методические рекомендации по подготовке презентации
Компьютерную презентацию, сопровождающую выступление докладчика, удобнее всего подготовить в программе MS PowerPoint. Презентация как документ представляет собой последовательность сменяющих друг друга слайдов - то есть электронных страничек, занимающих весь экран монитора (без присутствия панелей программы). Чаще всего демонстрация презентации проецируется на большом экране, реже – раздается собравшимся, как печатный материал. Количество слайдов адекватно содержанию и продолжительности выступления (например, для 5-минутного выступления рекомендуется использовать не более 10 слайдов).
На первом слайде обязательно представляется тема выступления и сведения об авторах.
Максимальное количество графической информации на одном слайде – 2 рисунка (фотографии, схемы и т.д.) с текстовыми комментариями (не более 2 строк к каждому). Наиболее важная информация должна располагаться в центре экрана.
Слайд, без эффектов анимации должен демонстрироваться на экране не менее 10 - 15 секунд. За меньшее время присутствующие не успеет осознать содержание слайда. Если на слайде приводится сложная диаграмма, ее необходимо предварить вводными словами (например, «На этой диаграмме приводится то-то и то-то, зеленым отмечены показатели А, синим – показатели Б»), с тем, чтобы дать время аудитории на ее рассмотрение, а только затем приступать к ее обсуждению. Каждый слайд, в среднем должен находиться на экране не меньше 40 – 60 секунд (без учета времени на случайно возникшее обсуждение). В связи с этим лучше настроить презентацию не на автоматический показ, а на смену слайдов самим докладчиком.
Особо тщательно необходимо отнестись к оформлению презентации. Для всех слайдов презентации по возможности необходимо использовать один и тот же шаблон оформления, кегль – для заголовков - не меньше 24 пунктов, для информации не менее 18. В презентациях не принято ставить переносы в словах.
Для лучшей ориентации в презентации по ходу выступления лучше пронумеровать слайды. Желательно, чтобы на слайдах оставались поля, не менее 1 см с каждой стороны.
Критерии оценивания: Содержание оценки
1. Содержательный критерий | Правильный выбор темы, знание предмета и свободное владение текстом, грамотное использование научной терминологии, импровизация, речевой этикет. |
2. Логический критерий | Стройное логико-композиционное построение речи, доказательность, аргументированность. |
3. Речевой критерий | Использование языковых (метафоры, фразеологизмы, пословицы, поговорки и т.д.) и неязыковых (поза, манеры и пр.) средств выразительности; фонетическая организация речи, правильность ударения, четкая дикция, логические ударения и пр. |
4. Психологический критерий | Взаимодействие с аудиторией (прямая и обратная связь), знание и учет законов восприятия речи, использование различных приемов привлечения и активизации внимания. |
Критерии оценивания решения задач
Отметка «5» ставится, если:
- работа выполнена полностью, в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
- в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).
Отметка «4» ставится, если:
- работа выполнена полностью, но в обосновании шагов решения недостаточны;
- допущена 1-2 ошибки или 1 ошибка и два-три недочета в выкладках, графиках.
Отметка «3» ставится, если:
- допущены 3 ошибки или 2 ошибки и более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.
Отметка «2» ставится, если:
- допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере
Методические рекомендации по составлению конспекта.
1. Внимательно прочитайте текст. Уточните в справочной литературе непонятные слова. При записи не забудьте вынести справочные данные на поля конспекта;
2. Выделите главное, составьте план;
3. Кратко сформулируйте основные положения текста, отметьте аргументацию автора;
4. Законспектируйте материал, четко следуя пунктам плана. При конспектировании старайтесь выразить мысль своими словами. Записи следует вести четко, ясно.
5. Грамотно записывайте цитаты. Цитируя, учитывайте лаконичность, значимость мысли.
В тексте конспекта желательно приводить не только тезисные положения, но и их доказательства. При оформлении конспекта необходимо стремиться к емкости каждого предложения. Мысли автора книги следует излагать кратко, заботясь о стиле и выразительности написанного. Число дополнительных элементов конспекта должно быть логически обоснованным, записи должны распределяться в определенной последовательности, отвечающей логической структуре произведения. Для уточнения и дополнения необходимо оставлять поля.
Овладение навыками конспектирования требует от студента целеустремленности, повседневной самостоятельной работы.
Критерии оценивания конспектов
Отметка «5» ставится, если:
- работа содержит полные ответы на все теоретические вопросы для составления конспекта;
Отметка «4» ставится, если:
- работа содержит неполный ответ хотя бы на один теоретический вопрос для составления конспекта;
Отметка «3» ставится, если:
- работа содержит неполные ответы на 2 теоретических вопроса для составления конспекта.
Отметка «2» ставится, если:
- работа содержит неполные ответы на 2 и более теоретических вопроса для составления конспекта.
Методические рекомендации по выполнению графической работы
Графическая работа выполняется на листах миллиметровой бумаги формата А-4. Необходимые пояснения и вычисления к работе пишутся на обратной стороне листа. Все пояснения желательно записывать с помощью математических символов с минимальным использованием обычного текста. При этом все необходимые обоснования к работе должны быть записаны. Перечислены все этапы построения.
Критерии оценивания графической работы.
Отметка «5» ставится, если: все построения выполнены правильно, аккуратно; описаны и обоснованы все этапы построения
Отметка «4» ставится, если:
допущены несущественные ошибки при построении, или построение выполнено верно, но не все этапы построения описаны и обоснованы.
Отметка «3» ставится, если:
допущены серьёзные ошибки при построении, но сохранена их логика, или при верном построении отсутствует его описание и обоснование
Отметка «2» ставится, если:
построение выполнено неверно
Список литературы.
1. Башмаков М.И. Математика: учебник: для учреждений начального и среднего профессионального образования. М:Издательский центр «Академия», 2013.
2. Башмаков М.И. Математика: задачник для учреждений начального и среднего профессионального образования. М:Издательский центр «Академия», 2013.
3. Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика: учебник для учреждений среднего профессионального образования. М: Издательский центр «Академия»,2010.
4. Выготский М.Я. Справочник по высшей математике. М: Наука, 2007.
5. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2000.
6. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2000.
7. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 кл. – М., 2005.
8. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 11 кл. – М., 2005.
9. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10—11 кл. – М., 2005.
10. Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб. пособие. – М., 2004.
11. Башмаков М.И. Математика: учебник для 10 кл. – М., 2004.
12. Богомолов Н.В. Математика. учебник для учреждений среднего профессионального образования. М: Издательский центр «Дрофа»,2010
13. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2000.
14. Колягин Ю.М. и др. Математика (Книга 1). – М., 2003.
15. Колягин Ю.М. и др. Математика (Книга 2). – М., 2003.
16. Луканкин Г.Л., Луканкин А.Г. Математика. Ч. 1: учебное пособие для учреждений начального профессионального образования. – М., 2004.
17. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М., 2003.
18. Смирнова И.М. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2000.
Интернет ресурсы.
http://alone.sammit.kiev.ua/moremind/illusion/index.html
http://www.im-possible.info/english/art/mey/mey2.html
http://lib.world-mobile.net/culture/special/imp/imp-world-r.narod.ru/art/index.html
http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/work.html
http://schools.techno.ru/sch758/2004/geometr/a.htm
http://www.intergu.ru/infoteka
Тема 1. Развитие понятия о числе.
- Вид самостоятельной работы.
Работа над контрольными вопросами:
- Формулы возведения в степень комплексного числа, записанного в алгебраической форме. Примеры.
2. Преобразование выражений, содержащих степени комплексного числа.
[1] стр.16-23
3. Решение вариативных задач по теме.
Ответы необходимо записать в тетрадь с конспектами по математике, для дальнейшего использования при решении подобных задач на занятиях.
На каждую формулу необходимо привести разобранный пример.
- Вид самостоятельной работы.
Решение вариативных задач по теме.
Справочные материалы для решения задач.
- Сравнение
означает, что и (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
- Сложение
- Вычитание
- Умножение
- Деление
- В частности,
Задание по теме.
- Даны комплексные числа:
,
,
.
Вычислите:
а); б)
; в)
; г)
; д)
; е)
.
- Вычислите: а) (2 - i)(2 + i) - (3 - 2i) + 7; б) (1 + i)4.
- Найти частное комплексных чисел: а)
; б)
; в)
.
- Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме:
а) -3; б) -i; в) 1 + i; г).
- Найти координаты точки M, изображающей комплексное число
.
- Решите уравнения в комплексных числах:
а) ; б)
Тема 2. Корни, степени и логарифмы.
- Вид самостоятельной работы.
Самостоятельное изучение темы:
«Алгоритмы решения показательных и логарифмических уравнений с переменной в основании». Составить опорный конспект. [12] стр. 123-126
План конспекта
- Определение показательного уравнения с переменой в основании.
- Алгоритмы решения для двух случаев: основание больше единицы, основание меньше единицы и больше нуля.
- Обобщённый алгоритм.
- Примеры решения
- Определение показательного уравнения с переменой в основании.
- Алгоритмы решения для двух случаев: основание больше единицы, основание меньше единицы и больше нуля.
- Обобщённый алгоритм.
- Примеры решения
- Вид самостоятельной работы.
Сообщение по теме:
«Число e –основание натурального логарифма». [12] часть1, глава2, §17.
В сообщении необходимо отразить:
- историческую составляющую данного вопроса; рассказать об учёных, впервые сформулировавших понятие экспоненты
- показать место числа среди других трансцендентных величин
- современные способы вычисления значения этого числа.
- Решение вариативных задач по теме.
- Найти значение выражения:
а) ; y=
;
b) -
;
-
.
2. Построить график функции:
a) y=; y=
;
b) y=; y=
.
3. Решить уравнение:
a) = 216;
= 128;
b) = 0;
= 0.
4. Решить неравенства:
a) ≤
;
>
;
b) ≤
;
>
.
Тема 3. Прямые и плоскости в пространстве..
- Вид самостоятельной работы.
Графическая работа:
«Выполнение чертежей на построение сечений многогранника», индивидуальные задания для каждого учащегося (чертежная бумага формат А-4).
Для решения многих геометрических задач, связанных с многогранниками, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.
Построить сечение многогранника плоскостью – это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника. Для построения сечения многогранника плоскостью нужно в плоскости каждой грани указать две точки, принадлежащие сечению, соединить их прямой и найти точки пересечения этой прямой с ребрами многогранника [5].
Повторим формулировки аксиом А2, А3.
А2. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
А3. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
Таким образом, для построения сечения многогранника плоскостью необходимо в плоскости каждой грани указать две точки, принадлежащие сечению. Рассмотрим примеры построения простейших сечений.
Задача №1. Точки Н и К принадлежат грани АВВ1А1 и принадлежат сечению. Значит, соединяем их отрезком. Аналогичные комментарии для точек К и N, Н и N Задача №2. Сечение проходит через середины боковых граней тетраэдра. При построении используется свойство средних линий треугольника. | |
| |
Простейшие сечения в тетраэдре. Задача №3. Сечение тетраэдра, проходящее через его вершину, вершину основания и середину ребра основания. Задача №4. Сечение тетраэдра через ребро его основания и середину противоположного бокового ребра. | |
Диагональные сечения параллелепипеда. Задача № 5. Сечение параллелепипеда через два противоположных боковых ребра. Задача №6. Сечение параллелепипеда через ребро верхнего основания и противоположное ребро нижнего основания. |
Задания для самостоятельной работы.
- Дан наклонный параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Отметьте внутреннюю точку M грани АА1В1В.
Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через т. М параллельно:
а) грани ВВ1С1С;
б) плоскости основания АВСD;
в) изобразите отрезок, по которому эти сечения пересекаются.
2. Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки О D1C1, К A1B1, Н AB.
3. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1.
Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки S D1C1, К СС1, N ВС.
4. Построить сечение четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки МSD , Р
AS и К, где К принадлежит плоскости основания.
Индивидуальные задания.
Тема 4. Комбинаторика.
- Вид самостоятельной работы.
Сообщение по теме: «Диаграммы Эйлера-Венна и их применение в теории множеств».
Литература: [1], [5], [12], [14], интернет-ресурсы.
Методические рекомендации: Привести не менее трёх примеров задач комбинаторики, решаемых с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
- Вид самостоятельной работы:
Решение вариативных задач по теме.
Задача 1. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?
Задача 2. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?
Задача 3. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?
Задача 4. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?
Задача 5. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать.
Задача 6. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?
Задача 7. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?
Задача 8. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?
Задача 9. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и Институт?
Задача 10. Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается?
Тема 5. Координаты и векторы.
- Вид самостоятельной работы.
Презентации по теме: « Вычисление расстояний и углов внутри многогранников».
[6], [18], интернет-ресурсы.
Виды презентаций:
- Расстояние между точками в пространстве.
- Расстояние между точкой и прямой в пространстве.
- Расстояние между прямыми в пространстве.
- Расстояние между точкой и плоскостью в пространстве.
- Расстояние между прямой и плоскостью в пространстве.
- Расстояние между плоскостями в пространстве.
- Углы между прямыми в пространстве.
- Угол между прямой и плоскостью
- Угол между плоскостями.
Методические рекомендации: привести примеры построения расстояний и углов внутри различных многогранников (прямоугольный параллелепипед, треугольная, и шестиугольная призма, тетраэдр, четырёхугольная и шестиугольная пирамида).
Тема 6. Основы тригонометрии.
- Вид самостоятельной работы.
Графическая работа по теме:
«Преобразование графиков тригонометрических функций».
Индивидуальное задание для каждого учащегося (выполняется на бумаге с миллиметровой сеткой). Изобразить промежуток, не менее двух периодов фунуции.
[1] стр. 107-112, 133-136.
Задание: Построить графики функций методами параллельного переноса и сжатия-растяжения графиков. Описать и обосновать этапы построения.
- a) y=
b) y=
c) y=
- a) y=
b) y=
c) y=
- a) y=
b) y=
c) y=
- a) y=
b) y=
c) y=
- a) y=
b) y=
c) y=
- a) y=
b) y=
c) y=
- a) y=
b) y=
c) y=
- a) y=
b) y=
c) y=
- a) y=
b) y=
c) y=
- a) y=
b) y=
c) y=
Тема 7. Функции, их свойства и графики.
- Вид самостоятельной работы.
Графическая работа по теме: «Преобразование графиков функций».
Индивидуальное задание для каждого учащегося (выполняется на бумаге с миллиметровой сеткой).
Методические рекомендации: Изобразить график функции, перечислить свойства данной функции.
Задание.
- a) y=x2+3x-4 b) y=
– 1
- a) y=x2-3x-4 b) y=
+1
- a) y=x2+2x-3 b) y=
– 2
- a) y=x2-2x-3 b) y=
+2
- a) y=x2+x-2 b) y=
– 1
- a) y=x2-x-2 b) y=
+ 1
- a) y=x2+4x-4 b) y=
– 3
- a) y=x2-4x-1 b) y=
+3
- a) y=x2+3x-4 b) y=
– 4
- a) y=x2-3x-4 b) y=
+4
Тема 8. Многогранники
- Вид самостоятельной работы.
Презентации по темам:
- «Правильные многогранники. Теорема Эйлера»
- «Платоновы тела»
- «Архимедовы тела»
[1] стр.152-156, [12] стр., часть 3, глава 13, §85, интернет –ресурсы.
- Вид самостоятельной работы.
Решение вариативных задач.
- Вписать в таблицу количество граней, вершин и ребер каждого из указанных многогранников и найти для каждого многогранника число Эйлера: Х=В+Г-Р. Сделать вывод.
Вид многогранника | Число вершин | Число ребер | Число граней | Число Эйлера Х |
Треугольная пирамида |
|
|
|
|
Четырехугольная пирамида |
|
|
|
|
Октаэдр |
|
|
|
|
Треугольная призма |
|
|
|
|
Пятиугольная призма |
|
|
|
|
Куб |
|
|
|
|
2. Решить текстовые задачи:
а) Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см. и 24 см., а высота параллелепипеда равна 10 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда.
б) Основание пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м. и 4 м. и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
2) Практическая работа по группам. (Работа с моделями различных многогранников, изготовленных из цветного картона). Каждая группа вычисляет площадь 3-5 многогранников. Задание: Найти полную площадь поверхности многогранников.
Тема 9. Прямые и плоскости в пространстве..
- Вид самостоятельной работы.
Сообщения по теме:
«Определение тел вращения через коническую, цилиндрическую и сферическую поверхность».
[6] , [18] , [19], [20] , [24], интернет-ресурсы.
Содержание сообщений..
- Определение конической поверхности. Элементы поверхности. Виды. Изображение.
Определение конуса.
Определение прямого кругового конуса.
- Определение цилиндрической поверхности. Элементы поверхности. Виды. Изображение.
Определение цилиндра.
Определение прямого кругового цилиндра.
- Определение сферической поверхности. Элементы поверхности. Виды. Изображение.
Определение сферы.
Тема 10. Начала математического анализа
- Вид самостоятельной работы.
Аналитическая работа с текстом:
- Составить таблицу замечательных пределов. [12] часть1, глава 4, §43.
- Составить таблицу эквивалентных функций
Методические рекомендации: Подобрать пример на применение всех формул таблиц и решить.
- Вид самостоятельной работы.
Решение вариативных задач.
- Вычислить пределы:
Вариант 1
;
Вариант 2
;
Вариант 3
;
Вариант 4
;
Вариант 5
;
Вариант 6
;
Вариант 7
;
Вариант 8
;
Вариант 9
;
Вариант 10
;
Образец решения
Пример 1.
Найти
Решение:
Ответ.
Пример 2.
Найти
Решение:
Ответ.
Пример 3.
Найти
Решение:
Ответ.
Пример 4.
Найти
Решение: В данном случае мы имеем неопределенность вида . Выделим целую часть и сведем ко второму замечательному пределу:
; или разделим числитель и знаменатель на x
.
Ответ.
- Исследовать функцию на монотонность и экстремум:
Вариант №1
| Вариант №2
|
Вариант №3
| Вариант №4
|
Вариант №5
| Вариант №6
|
Вариант №7
| Вариант №8
|
Вариант №9
| Вариант №10
|
Пример. Исследовать функцию =x3-3x-4 на монотонность.
Решение:
+ - +
Х
-1 1
при
при
Ответ: данная функция возрастает при и убывает
Тема 11. Измерения в геометрии.
- Вид самостоятельной работы.
Самостоятельное изучение темы:
«Вычисление объёма тел вращения с помощью определённого интеграла». Составить опорный конспект. [1] стр.205-211. Привести примеры.
- Вид самостоятельной работы.
Решение вариативных задач.
- Вычислить определённый интеграл.
1.1 | 1.6 | 1.11 |
1.2 | 1.7 | 1.12 |
1.3 | 1.8
| 1.13 |
1.4 | 1.9 | 1.14 |
1.5 | 1.10 |
- Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями. Результат округлить до 10-2.
2.1 | 2.6 | 2.11 |
2.2
| 2.7 | 2.12 |
2.3 | 2.8 | 2.13 |
2.4 | 2.9 | 2.14 |
2.5 | 2.10 | 2.15 |
Тема 12. Элементы теории вероятности и математической статистики.
- Вид самостоятельной работы.
Решение вариативных задач .
1. Задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы указаны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности p этих возможных значений). Найти:
- математическое ожидание,
- дисперсию,
- построить многоугольник распределения.
1.1
x | 23 | 25 | 28 | 29 |
p | 0,3 | 0,2 | 0,4 | 0,1 |
1.2
x | 17 | 21 | 25 | 27 |
p | 0,2 | 0,4 | 0,3 | 0,1 |
1.3
x | 24 | 26 | 28 | 30 |
p | 0,2 | 0,2 | 0,5 | 0,1 |
1.4
x | 12 | 16 | 19 | 21 |
p | 0,1 | 0,5 | 0,3 | 0,1 |
1.5
x | 25 | 27 | 30 | 32 |
p | 0,2 | 0,4 | 0,3 | 0,1 |
1.6
x | 30 | 32 | 35 | 40 |
p | 01 | 0,5 | 0,2 | 0,2 |
1.7
x | 12 | 14 | 16 | 20 |
p | 0,1 | 0,2 | 0,5 | 0,2 |
1.8
x | 21 | 25 | 28 | 31 |
p | 0,1 | 0,4 | 0,2 | 0,3 |
1.9
x | 18 | 22 | 23 | 26 |
p | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 |
1.10
x | 25 | 28 | 30 | 33 |
p | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,3 |
- Рассчитать средний возраст студентов в группе из 20 человек:
№ п\п | Возраст (лет) | № п\п | Возраст (лет) | № п\п | Возраст (лет) | № п\п | Возраст (лет) |
1 2 3 4 5 | 18 18 19 20 19 | 6 7 8 9 10 | 20 19 19 19 20 | 11 12 13 14 15 | 22 19 19 20 20 | 16 17 18 19 20 | 21 19 19 19 19 |
Справочные материалы.
Простая средняя арифметическая — Равна отношению суммы индивидуальных значений признака к количеству признаков в совокупности
Пример 1. Бригада из 6 рабочих получает в месяц 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тыс. руб.
Найти среднюю заработную плату.
Решение:
(3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 тыс. руб.
Взвешенная средняя арифметическая — равна отношению (суммы произведений значения признака к частоте повторения данного признака) к (сумме частот всех признаков). Используется, когда варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз.
Представим это в виде следующей формулы:
- — цена за единицу продукции;
- — количество (объем) продукции;
Пример 2. Найти среднюю заработную плату рабочих цеха за месяц
Заработная плата одного рабочего | Число рабочих |
3,2 | 20 |
3,3 | 35 |
3,4 | 14 |
4,0 | 6 |
Итого: | 75 |
Средняя заработная плата может быть получена путем деления общей суммы заработной платы на общее число рабочих:
Ответ: 3,35 тыс.руб.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называ-ется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:
М(Х) = х1р1 + х2р2 + … + хпрп .
Пример 3. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, зная закон ее распределения:
Х | 5 | 4 | 3 |
p | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
Решение: По формуле находим математическое ожидание:
M (X) = 5*0,2 + 4*0,5 + 3*0,3 = 3,3.
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D (X) = M [X - M (X)]2.
Пример 4. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:
Х | 1 | 2 | 5 |
p | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
Решение: По формуле находим математическое ожидание:
M (X) = 1*0,3 + 2*0,5 + 5*0,2 = 2,3.
Записываем все возможные значения квадрата отклонения:
[X1 - M (X)]2 = (1 - 2,3)2 = 1,69;
[X2 - M (X)]2 = (2 - 2,3)2 = 0,09;
[X3 - M (X)]2 = (5 - 2,3)2 = 7,29.
Тогда закон распределения квадрата отклонения имеет следующий вид:
[X - M (X)]2 | 1,69 | 0,09 | 7,29 |
p | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
По формуле находим дисперсию:
D (X) = 1,69*0,3 + 0,09*0,5 + 7,29*0,2 = 2,01.
Тема 13. Решение уравнений и неравенств.
- Вид самостоятельной работы.
Аналитическая работа с текстом:
Составление схем алгоритмов решения уравнений, содержащих модуль.
[12] часть1,глава 1, §5
Привести пример решения на каждую схему.
- Вид самостоятельной работы.
Решение вариативных задач
|
|
Тема 3. Прямые и плоскости в пространстве..
- Вид самостоятельной работы.
Тема 3. Прямые и плоскости в пространстве..
- Вид самостоятельной работы.
Лист контроля выполнения ВСР
Группа_____________________________________________
№ | Ф.И. | Оценка | |||||||
1.1 | 1.2 | 2.1 | |||||||
Предварительный просмотр:
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования Московской области
«МОСКОВСКИЙ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»
(ГБОУ СПО МО МГМТ)
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
по выполнению домашней контрольной работы
по дисциплине «МАТЕМАТИКА»
для студентов заочного отделения
(для всех специальностей)
Железнодорожный
2013 г.
Аннотация
Пособие предназначено для оказания помощи студентам заочного отделения при выполнении домашней контрольной работы по математике или по элементам высшей математики. Пособие включает в себя некоторые разделы, имеющиеся в этих курсах.
Пособие может быть использовано студентами дневной формы обучения.
Автор: Пашикина С.И.- преподаватель ГБОУ СПО МО МГМТ
Содержание
- Теория пределов.
- Линейная алгебра.
- Дифференциальное исчисление.
- Интегральное исчисление.
- Элементы дискретной математики.
- Комплексные числа.
- Элементы теории вероятностей.
- Литература.
1. Теория пределов
Изучить по учебной литературе вопросы:
- Определение предела функции.
- Свойства пределов функций.
- Вычисление пределов функций при наличии неопределенности типа 0/0.
- Вычисление пределов функций, являющихся неопределенностями типа ∞/∞.
- Понятие разрыва функции. Типы разрывов.
- Асимптоты графиков функций, их виды и уравнения.
- Первый и второй замечательные пределы.
Примеры решения задач
- Вычислить пределы функций:
- Составить уравнения асимптот к графику функции:
Решение
а) Графики функций могут иметь асимптоты трех видов: горизонтальные, вертикальные и наклонные.
Для определения горизонтальной асимптоты следует вычислить предел функции при условии, что х→∞. Если такой предел существует, то график функции имеет горизонтальную асимптоту.
В примере График функции имеет горизонтальную асимптоту с уравнением у=2.
Для определения вертикальной асимптоты следует определить значения, при которых функция не существует и найти левые и правые пределы функции. Если хотя бы один из пределов бесконечен, то имеется вертикальная асимптота.
В примере функция не существует при х=3.
Так как оба предела бесконечны, то имеется
вертикальная асимптота с уравнением х=3.
Для определения наклонной асимптоты с уравнением y=kx +b находят
Если первый предел не существует или равен 0, то нет наклонной асимптоты.
В примере
Так как k=0, то наклонной асимптоты не имеется.
б)
Выполним последовательно значения пределов:
График функции не имеет горизонтальной асимптоты.
Функция не существует при х=0,5
График функции имеет вертикальную асимптоту
с уравнением х=0,5
Вычислим График функции имеет наклонную асимптоту.
Наклонная асимптота имеет уравнение у=0,5х + 0,25
3. Построить график функции, определив тип точек разрыва:
Для заданной функции точками разрыва являются значения аргумента (-2) и 1.
Найдем левые и правые предельные значения функции для этих значений аргумента.
Для построения графика функции с учетом определения типов точек разрыва, потребуется вычисление значений функции в некоторых промежуточных точках
а) x<-2 y=-x2-6x-7 (парабола)
xi | -5 | -4 | -3 | -2 |
yi | -2 | 1 | 3 | 1 |
б) -2
xi | -2 | 1 |
yi | 1 | 4 |
в) х>1
xi | 1,1 | 1,5 | 2 | 5 | 9 |
yi | 9 | 1 | 0 | -0,75 | -0,875 |
Если вычислить , то получим уравнение горизонтальной
асимптоты у=-1
2.Линейная алгебра
Изучить по учебной литературе вопросы:
- Матрицы, их виды.
- Действия над матрицами.
- Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков.
- Обратная матрица, ее определение и получение обратной матрицы второго и третьего порядков.
- Решение матричных уравнений.
- Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, в виде матричного уравнения.
Примеры решения задач.
!. Выполнить действия над матрицами
Составить матрицу М=(2А – В)(В+Е)
Решение
Составим матрицу 2А – В, для чего все элементы матрицы А умножим на 2, а затем из каждого элемента матрицы 2А вычтем соответствующий элемент матрицы В.
Составим матрицу В+Е, где матрица Е является единичной матрицей третьего порядка:
Матрица М является произведением полученных матриц, то-есть каждый ее элемент равен сумме произведений соответствующих элементов строки матрицы 2А-В и столбца матрицы В+Е
2. Вычислить определитель матрицы:
а)
Решение
а) Для вычисления определителя второго порядка воспользуемся правилом, изложенным в учебной литературе:
б) Для вычисления определителя третьего порядка воспользуемся одним из правил, называемым разложением по элементам первой строки:
- Найти обратную матрицу для матрицы второго порядка
Решение
Для получения обратной матрицы А-1 воспользуемся формулой , где
Для проверки можно найти произведение матриц А и А-1; должна получиться единичная матрица второго порядка.
- Решить систему уравнений по формулам Крамера
Решение
Для решения задачи нужно вычислить четыре определителя третьего порядка:
- главный определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных;
- дополнительный для х, полученный из главного определителя заменой чисел первого столбца на свободные члены;
- дополнительный для у, полученный из главного определителя заменой чисел второго столбца на свободные члены;
- дополнительный для z, полученный из главного определителя заменой чисел третьего столбца на свободные члены;
Для получения значений неизвестных требуется разделить значения дополнительных определителей на главный определитель.
Решение задачи можно проверить при помощи найденных значений в уравнения системы.
- Дифференциальное исчисление
Изучить по учебной литературе вопросы:
- Производная функция: определение, свойства, таблица производных.
- Исследование функции на монотонность.
- Исследование функции на выпуклость (вогнутость) и точки перегиба.
- Исследование функции на экстремум.
- Геометрический и механический смыслы производной.
- Построение графика функции, используя схему исследования свойств.
Примеры решения задач
- Найти производные функций:
Решение
При выполнении дифференцирования будем использовать свойства производных, таблицу производных, правило дифференцирования сложных функций.
- Выполнить исследование свойств функции по первой и второй производным и построить график функции f(x)=x3 - 3x2 - 45x + 20
Решение
Воспользуемся некоторыми пунктами исследования функции:
1)Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел. Эта функция не является четной или нечетной. График этой функции не имеет асимптот.
- Найдем первую производную и определим соответствующие свойства
функции. f’(x)=3x2 – 6x –45. Решим уравнение 3х2 – 6х – 45 = 0. Корнями уравнения являются числа (-3) и 5.
Воспользуемся таблицей:
х | (-∞; -3) | -3 | (-3;5) | 5 | (5;∞) |
f’(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | max | min |
Функция возрастает в интервалах (-∞;-3) и (5;∞), убывает в интервале (-3; 5).
Функция имеет максимальное значение f(-3)=101, имеет минимальное значение f(5)= - 155.
- Найдем вторую производную f”(x)=(3x2 – 6x –45)’=6x-6.
Решим уравнение 6х-6=0. Решением уравнения является х=1.
Для определения свойств функции воспользуемся таблицей:
х | (-∞; 1) | 1 | (1;∞) |
f”(x) | - | 0 | + |
f(x) | ∩ выпуклая | точка перегиба | ∪ вогнутая |
- Для построения графика функции воспользуемся результатами вычислений, оформленными в виде таблицы:
х | - 6 | -5 | -3 | - 1 | 0 | 1 | 2 | 4 | 5 | 7 | 9 |
f(x) | - 34 | 45 | 101 | 61 | 20 | - 27 | -74 | -144 | -155 | -99 | 101 |
max | пер. | min |
- Интегральное исчисление
Изучить по учебной литературе вопросы:
- Неопределенный интеграл: определение, свойства, таблица интегралов.
- Способы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, способ подстановки.
- Определенный интеграл: определение, свойства, геометрический смысл.
- Способы вычисления определенного интеграла.
- Применение определенного интеграла к решению практических задач: вычисление площадей плоских фигур.
Примеры решения задач
- Найти неопределенные интегралы:
Решение
При решении примеров следует пользоваться свойствами неопределенных интегралов, таблицей интегралов, в которую включена формула интеграла функции линейного аргумента, непосредственным интегрированием и методом подстановки.
б) Выполнив почленное деление в подынтегральной функции, получим:
в)
г) Будем использовать подстановку:
д) Воспользуемся подстановкой:
- Вычислить определенные интегралы:
Решение
При вычислении определенных интегралов используем формулу Ньютона-Лейбница
. Получение первообразной функции F(x) будем выполнять или непосредственно или способом подстановки.
б)
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=1 – х2 + 4х и 2х – у – 2 =0
Для определения точек пересечения линий составим уравнение из равенства выражений этих линий: 1 – х2 + 4х = 2х – 2; получим уравнение: х2 – 2х – 3 = 0.
Корнями этого уравнения являются числа: (-1) и 3. Для построения линий найдем
значения функций и составим их таблицы:
х | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | х | -1 | 3 | |
у1 | -4 | 1 | 4 | 5 | 4 | у2 | -4 | 4 |
Построив фигуру на плоскости, вычислим ее площадь, определив значение интеграла
- Дискретная математика
Изучить по учебной литературе вопросы:
- Множества, их виды, способы задания.
- Простейшие действия над множествами.
- Отношения, их некоторые виды.
- Графы, их основные элементы.
- Некоторые виды графов.
Упражнения и их решение.
- Составить объединение, пересечение и разность двух множеств.
а) А={3; 4; 6; 7}, B={2; 3; 4; 5}
A∪B={2; 3; 4; 5; 6; 7}, A∩B={3; 4}, A \ B ={6; 7}
б) А=(-1; 3]; B=[1; 5]
A∪B=(-1;5]; A∩B=[1; 3]; A \ B=(-1; 1)
В этом упражнении решение следует сопровождать рисунками.
- Комплексные числа
Изучить по учебной литературе вопросы:
- Определение комплексного числа в алгебраической форме.
- Геометрическое изображение комплексного числа.
- Тригонометрическая форма комплексного числа.
- Выполнение арифметических действий над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах.
Примеры решения задач
- Построить на координатной плоскости числа Z1 , Z2, где Z1=3-2i, Z2=-1+i.
Решение
На координатной плоскости изобразим точки (3; -2), (-1; 1) и соединим их с началом
координат, получив векторы, конечными точками которых являются заданные точки.
- Выполнить действия сложения, вычитания, умножения, деления над комплексными числами в алгебраической форме.
Z1=3+4i, Z2=2i18-5i15
Решение
Предварительно преобразуем второе число, используя значения степеней мнимой единицы. i18=i16+2=i16i2=1i2=-1, i15=i12+3=i12i3=i3=-i, Z2=-2+5i
Выполним действия над числами:
Z1+Z2=(3+4i)+(-2+5i)=3+4i-2+5i=(3-2)+(4i+5i)=1+9i
Z1-Z2=(3+4i)-(-2+5i)=3+4i+2-5i=(3+2)+(4i-5i)=5-I
Z1 .Z2=(3+4i) . (-2+5i)=-6+15i – 8i +20i2=-6+7i – 20= - 26 + 7i
- Представить число в тригонометрической форме Z=
Найдем модуль и аргумент комплексного числа
- Элементы теории вероятностей
Изучить по учебной литературе вопросы:
- Случайные события, их виды.
- Вероятность случайного события, способы ее получения.
- Комбинаторика. Применение элементов комбинаторики к вычислению вероятности.
- Действия над случайными событиями, вычисление вероятностей результатов действий.
- Случайные величины, их виды. Закон распределения случайной величины
- Ряд и функция распределения дискретной случайной величины.
- Математическое ожидание дискретной случайной величины.
- Дисперсия дискретной случайной величины.
Примеры решения задач
- Имеется набор разноцветных шариков, среди которых 5 синих, 3 красных и 2 зеленых. Наугад извлекают 4 шарика. Найти вероятность того, что среди извлеченных шариков 2 синих, 1 красный и 1 зеленый.
Решение
Для определения вероятности случайного события будем использовать классическую формулу , в которой n – число всех возможных исходов, m- число исходов, благоприятных появлению события. В задаче значения этих величин следует находить при помощи сочетаний.
- Из карточек разрезной азбуки составлено слово «панорама». Карточки перемешали и наудачу по одной извлекают 5 карточек, выкладывая их в порядке извлечения. Найти вероятность того, что окажется составленным слово «роман».
Решение
В этой задаче можно воспользоваться произведением зависимых случайных событий
А – получение слова «роман»; В1 – извлечение первой карточки с буквой «р»;
В2 – извлечение второй карточки с буквой «о»; и т.д. Тогда А=В1 . В2 . В3 . В4 . В5
Р(А)=Р(В1) . Р(В2) . Р(В3) . Р(В4) . Р(В5)=
- В трех ящиках имеется по 6 одинаковых изделий, среди которых соответственно 2,
1, 3 бракованных. Наугад из каждого ящика извлекают по одному изделию. Найти вероятность того, что среди них окажутся два качественных и одно бракованное изделия.
Решение
Для решения задачи рассмотрим события: А – извлечение двух качественных и одного бракованного изделий, В1 – извлечение качественного изделия из первого ящика;
В2 – извлечение качественного изделия из второго ящика; В3– извлечение качественного изделия из третьего ящика; извлечение бракованного изделия для каждого ящика является событиями Составим событие А и вычислим его вероятность
- Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, составить функцию распределения, начертить многоугольник распределения и график функции распределения. Имеется заданный ряд распределения дискретной случайной величины
хi | -1 | 2 | 6 |
pi | 0,5 | 0,3 | 0,2 |
Для вычисления математического ожидания воспользуемся формулой
Получим M(X)=(-1).0,5+2.0,3+6.0,2=1,3
Для вычисления дисперсии воспользуемся двумя соотношениями, одно из которых соответствует определению дисперсии, другое – ее свойству.
В примере получим: D(X)=(-1-1,3)2 . 0,5+(2-1,3)2 . 0,3+(6-1,3)2 . 0,2=7,21
M(X2)=(-1)2 . 0,5+22 . 0,3+62 . 0,2=8,9
D(X)= 8,9 – 1,32 =7,21 (значения должны совпадать)
Для построения многоугольника распределения нужно на координатной плоскости построить точки (xi ;pi) и последовательно их соединить отрезками.
Для построения функции распределения воспользуемся схемой:
В примере получим
Используя значения заданного примера получим графики:
Литература
- Математика: учебник. А.А. Дадаян. – М. : ФОРУМ, 2008
- «Общий курс высш. математики» под ред. Ермакова Е.И. М., ИНФРА-М,2004
- Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений; С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина; - М.: Издательский центр «Академия», 2010
- Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская, В.В. Соколов; – М. - ФОРУМ, 2008
- Дискретная математика – учебное пособие. Макоха А.Н., Сахнюк П.А., Червяков Н.И.: учеб. Пособие – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005
- Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям. – Н.Ш. Кремер и др. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007
- Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник. Н.И. Сидняев – М.: Издательство Юрайт, 2011
Предварительный просмотр:
ГБОУ СПО МО «МОСКОВСКИЙ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ
ТЕХНИКУМ»
Утверждаю: Зам. директора техникума по учебной работе ______________Л.В. Тягова «___»_____________2014 г. |
Методические рекомендации к внеаудиторной самостоятельной работе студентов по дисциплине
«МАТЕМАТИКА»
по специальности 210422 Радиотехнические информационные системы
г. Железнодорожный
2013-2014 уч.г.
Методические рекомендации к внеаудиторной самостоятельной работе студентов по учебной дисциплине разработаны на основе Федерального государственного образовательного стандарта и действующей рабочей программы по специальности среднего профессионального образования
210422 Радиотехнические информационные системы
Организация-разработчик: ГБОУ СПО МО «Московский гидрометеорологический техникум»
Разработчик: Пашикина С.И., преподаватель ГБОУ СПО МО «Московский гидрометеорологический техникум»
Рассмотрены и одобрены на заседании предметной цикловой комиссии радиотехнических и естественнонаучных дисциплин
протокол № 1 от «28» августа 2013 г.
Председатель: _____________В.П. Куняева
Рекомендована Методическим советом Государственного образовательного учреждения среднего профессионального образования Московской области «Московский гидрометеорологический техникум» (ГБОУ СПО МО МГМТ)
Протокол № 1 от «29» августа 2013 г.
Тематический план внеаудиторной самостоятельной работы.
№ | Тема (раздел) | Виды работы | Форма организации (групповая, индивид.) | Методы контроля | Кол-во часов |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
1 | Введение в теорию матриц. . | Ответы на контрольные вопросы. Решение вариативных задач по теме | групповая | Устный опрос. Решение практических заданий Проверка конспекта | 2 |
2 | Решение матричных уравнений. | Ответы на контрольные вопросы. Решение вариативных задач по теме | Групповая | Устный опрос. Решение практических заданий Проверка конспекта | 4 |
3 | Координатный метод в стереометрии. | Ответы на контрольные вопросы. Решение вариативных задач по теме | групповая | Устный опрос. Решение практических заданий Проверка конспекта | 2 |
4 | Предел функции. | Ответы на контрольные вопросы. Решение вариативных задач по теме | Устный опрос. | Прослушивание сообщения на занятии. Решение практических заданий. | 2 |
5 | Дифференциальное исчисление. | Ответы на контрольные вопросы. Решение вариативных задач по теме | Решение практических заданий | Просмотр презентации на занятии. Решение практических задач. | 4 |
6. | Интегральное исчисление. | Ответы на контрольные вопросы. Решение вариативных задач по теме | Проверка конспекта | Проверка работ. Обсуждение типовых ошибок | 4 |
7 | Дифференциальные уравнения. | Ответы на контрольные вопросы. Решение вариативных задач по теме | Просмотр презентации на занятии. Решение практических задач. | 8 | |
8 | Основы теории вероятностей | Ответы на контрольные вопросы. Решение вариативных задач по теме | Устный опрос. | Прослушивание сообщения на занятии. Решение практических заданий. | 4 |
9 | Элементы математической статистики | Ответы на контрольные вопросы. Решение вариативных задач по теме | Решение практических заданий | Устный опрос. Решение практических заданий | 10 |
Всего | 24 |
Тема 1. Введение в теорию матриц
- Ответы на контрольные вопросы .
Цель: углубление знаний и практических навыков по изучаемой теме
Контрольные вопросы-1
- Что называется матрицей?
- Что называется матрицей – строкой? Матрицей – столбцом?
- Какие матрицы называются прямоугольными? Квадратными?
- Какие матрицы называются равными?
- Что называется главной диагональю матрицы?
- Какая матрица называется диагональной?
- Какая матрица называется единичной?
- Какая матрица называется треугольной?
- Что значит «Транспонировать» матрицу?
- Что называется суммой матриц?
- Что называется произведением матрицы на число?
- Как найти произведение двух матриц?
- В чем состоит обязательное условие существование произведения матриц?
- Какими свойствами обладает произведение матриц
Контрольные вопросы-2
- Как записать простейшее матричное уравнение?
- Как решить матричное уравнение?
- Сформулируйте теорему Крамера.
- Запишите формулы Крамера.
- Опишите метод Гаусса.
- В каком случае система не имеет решения?
- В каком случае система имеет бесчисленное множество решения?
- Вид самостоятельной работы: Решение вариативных задач по теме
Цель: углубление знаний и практических навыков по изучаемой теме
Задание 1. Сложить матрицы А и В, если:
а) ,
б),
в) ,
Задание 2. Умножить матрицу на число k=3.
Задание 3. Найти матрицу, противоположную матрице А=
Задание 4. Найти линейную комбинацию 3А-2В, если
,
Задание 5. Вычислить линейную комбинацию матриц 2А-В, если
,
Задание 6. Вычислить линейную комбинацию матриц 2А+3В-С, если
, ,
Задание 7. Найти произведение матриц АВ, если:
а) ,
б) ,
в),
г) ,
д),
Задание 8. Вычислить а) , б) , где
,
Задание 9. Найти , если ,
Тема 2. Решение матричных уравнений.
- Вид самостоятельной работы.
Ответы на контрольные вопросы
Цель: углубление знаний и практических навыков по изучаемой теме
Контрольные вопросы
1. Что называется определителем матрицы?
2. Как вычислить определитель третьего порядка по схеме треугольников?
3. Что называется минором?
4. Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя?
5. Как разложить определитель по элементам столбца или строки?
6. Какие способы вычисления определителя вам известны?
7. Перечислите свойства определителей.
2.2. Решение вариативных задач.
Цель: углубление знаний и практических навыков по изучаемой теме
Задание 1. Вычислить определители 2-го порядка:
А)
Б)
В)
Г)
Задание 2. Вычислить определители 3-го порядка:
А)
Б)
В)
Г)
Задание 3. Вычислить определители 4-го порядка:
А)
Б)
В)
Г)
Задание 4. Решить уравнения:
А) В)
Задание 5. Решить систему методом Крамера и методом Гаусса
Тема 3. Координатный метод в стереометрии.
3.1. Вид самостоятельной работы: ответы на контрольные вопросы.
Цель: углубление знаний и практических навыков по изучаемой теме
Контрольные вопросы.
- Векторное произведение векторов.
- Смешанное произведение векторов.
- Вычисление площади параллелограмма координатным методом.
- Вычисление площади треугольника координатным методом.
- Вычисление объёма параллелепипеда координатным методом.
- Вычисление объёма пирамиды координатным методом.
3.2. Вид самостоятельной работы: Решение вариативных задач.
Даны точки пространства: А(1; 3; -1); В(-1; 0; 2); С(3; -2; 1); К(1; 1; 1)
Вычислить:
Площадь параллелограмма АВДС;
Площадь треугольника АВС;
Объём параллелепипеда, измерениями которого являются рёбра АВ, АС, АК;
Объём пирамиды КАВС.
Тема 4. Предел функции.
4.1. Вид самостоятельной работы: ответы на контрольные вопросы.
Цель: углубление знаний и практических навыков по изучаемой теме
Контрольные вопросы.
- Формула первого замечательного предела. Приведите примеры.
- Следствия (модификации) первого замечательного предела. Приведите примеры.
- Второй замечательный предел. Приведите примеры.
- Эквивалентные функции и их применение при вычислении пределов.
4.2. Вид самостоятельной работы: решение вариативных задач.
- Вычислить предел функции:
.
- Вычислить предел функции:
.
- Вычислить предел функции:
.
- Вычислить предел функции:
.
Тема 5. Дифференциальное исчисление.
5.1. Вид самостоятельной работы: ответы на контрольные вопросы.
1. Применение производной в физике и технике.
2. Геометрический смысл производной.
3. Определение асимптоты графика функции.
4. Определение наклонной асимптоты. Формула для нахождения.
5. Определение вертикальной асимптоты.
6. Определение горизонтальной асимптоты.
7. Привести примеры решения задач.
5.2. Вид самостоятельной работы: решение вариативных задач.
- Найти производную функции .
- Найти производную третьего порядка функции .
- Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , .
- Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
- Найти асимптоты и построить графики функций.
- Исследовать функцию на монотонность и экстремум: y = .
Тема 6. Интегральное исчисление.
- Вид самостоятельной работы: ответы на контрольные вопросы.
Цель: углубление знаний и практических навыков по изучаемой теме
Контрольные вопросы.
- Понятие первообразной функции.
- Формулы вычисления первообразных.
- Метод непосредственного интегрирования для вычисления неопределённого интеграла.
- Метод подстановки для вычисления неопределённого интеграла.
- Метод интегрирования по частям для вычисления неопределённого интеграла.
- Формула для вычисления определённого интеграла.
- Применение определённого интеграла для вычисления площадей и объёмов.
- Вид самостоятельной работы: решение вариативных задач.
Цель: углубление знаний и практических навыков по изучаемой теме
Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования (для № 1-5).
- .
- .
- .
- .
- .
Найти неопределенные интегралы методом подстановки (для № 6-8).
- .
- .
- .
- Найти неопределенный интеграл методом интегрирования по частям: .
- Вычислить определенный интеграл: .
- Вычислить определенный интеграл методом подстановки: .
- Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями: .
- Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: .
- Скорость движения точки изменяется по закону (м/с). Найти путь S, пройденный точкой за 10 с от начала движения.
Тема 7. Дифференциальные уравнения.
- Вид самостоятельной работы: ответы на контрольные вопросы.
Цель: углубление знаний и практических навыков по изучаемой теме
Контрольные вопросы.
- Понятие дифференциального уравнения.
- Основные виды дифференциальных уравнений.
- Методы решения элементарных дифференциальных уравнений.
- Вид самостоятельной работы: решение вариативных задач.
Цель: углубление знаний и практических навыков по изучаемой теме
Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений (для № 1-4).
- .
- .
- .
- .
- Решить задачу Коши: .
Решить следующие дифференциальные уравнения первого и второго порядка (для № 6-12).
- .
- .
- .
- .
- .
- .
- .
Тема 8. Основы теории вероятностей.
- Вид самостоятельной работы: ответы на контрольные вопросы.
Цель: углубление знаний и практических навыков по изучаемой теме
Контрольные вопросы.
- Перечислите основные задачи комбинаторики.
- Что называется перестановками? Запишите формулу числа перестановок из m элементов.
- Что называется размещениями? Запишите формулу числа размещений из m элементов по n
- Что называется сочетаниями? Запишите формулу для числа сочетаний из m элементов по n
- Что называется n-факториалом?
- Вид самостоятельной работы: решение вариативных задач.
Цель: углубление знаний и практических навыков по изучаемой теме
- Вычислить: .
- Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?
- Из корзины, в которой находятся 4 белых и 7 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.
- Определить вероятность появления «герба» при бросании монеты.
- В корзине 20 шаров: 5 синих, 4 красных, остальные черные. Выбирают наудачу один шар. Определить, с какой вероятностью он будет цветным.
- Событие А состоит в том, что станок в течение часа потребует внимания рабочего. Вероятность этого события составляет 0,7. Определить, с какой вероятностью станок не потребует внимания.
- В одной корзине находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой корзины вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
- Бросают две монеты. Определить, с какой вероятностью появится «герб» на обеих монетах.
Тема 9. Элементы математической статистики.
- Вид самостоятельной работы: ответы на контрольные вопросы.
Цель: углубление знаний и практических навыков по изучаемой теме
Контрольные вопросы.
- Нахождение вероятности случайного события
- Составление закона распределения случайной величины
- Вычисление числовых характеристик случайных величин
- Вид самостоятельной работы: решение вариативных задач.
Цель: углубление знаний и практических навыков по изучаемой теме
- В лотерее 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 200 рублей и двадцать выигрышей по 50 рублей. Пусть Х – величина возможного выигрыша для человека, имеющего один билет. Составить закон распределения этой случайной величины Х.
- Случайная величина Х задана законом распределения:
1 | 4 | 6 |
0,1 | 0,6 | 0,3 |
Найти ее математическое ожидание.
- Согласно статистике, вероятность того, что двадцатипятилетний человек проживет еще год, равно 0,992. Компания предлагает застраховать жизнь на год на 1000 у.е. с уплатой 10 у.е. взноса. Определить, какую прибыль ожидает компания от страховки одного двадцатипятилетнего человека.
- Случайная величина Х задана законом распределения:
1 | 5 | 8 |
0,1 | 0,2 | 0,7 |
Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины Х.
- Случайные величины X и Y заданы законом распределения. Найти математическое ожидание этих случайных величин и определить по таблицам, какая из данных величин более рассеяна. Подсчитать дисперсии D(X) и D(Y). Убедиться, что D(X)>D(Y).
X | 2 | 20 | 28 | 50 |
Y | 23 | 25 | 26 |
Лист контроля выполнения ВСР
Группа_____________________________________________
№ | Ф.И. | Оценка | |||||||
1.1 | 1.2 | 2.1 | |||||||
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2012/02/02/picture-54919.jpg)
Методическая разработка урока по волейболу в 5 классе на основе инновационной технологии спортивно-ориентированного физического воспитания. Методическая разработка урока по волейболу в 5 классе на основе инновационной технологии спортивно-ориентированн
урок по физической культуре с ипользованием инновационной технологии спортивно-ориентированного физического воспитания...
![](/sites/default/files/pictures/2014/10/17/picture-64754-1413516220.jpg)
Методические разработки внеклассных мероприятий по физической культуре и спорту. Методические разработки внеклассных мероприятий по физической культуре и спорту.
Аннотацияк учебно-методическим разработкам внеклассных мероприятий по физической культуре с использованием нестандартного оборудования. 1....
Методическая разработка по физкультуре по теме: Методическая разработка внеклассного мероприятия "Веселые старты" для учащихся начальной школы по предмету: "Физическая культура"
Внеклассное мероприятие "Веселые старты" проводится с целью пропаганды здорового образа жизни, где учащиеся развивают двигательные качества, укрепляют здоровье, дружеские отношения....
![](/sites/default/files/pictures/2014/02/28/picture-263102-1393550247.jpg)
«Откуда есть пошла земля русская…» методическая разработка интегрированного внеклассного мероприятия, посвященного 1150-летию образования российской государственности «Откуда есть пошла земля русская…» методическая разработка интегрированного внекласс
Данная работа посвящена 1150- летию образования российской государственности. В работе представлены: история образования российской государственности, история симво...
![](/sites/default/files/pictures/2013/08/04/picture-278054-1375618209.jpg)
методическая разработка урока биологии в 6 классе по теме "Движения живых организмов" и презентация к ней. Методическая разработка урока биологии в 6 классе по теме "Дыхание растений, бактерий и грибов" и презентация к ней.
Методическая разработка урока с поэтапным проведением с приложениямиПрезентация к уроку биологии в 6 классе по теме "Почему организмы совершают движения? ".Методическая разработка урока с поэтап...
Методическая разработка Методическая разработка (для факультативных занятий по английскому языку для учащихся 10-11 классов) Создание банка дистанционных уроков с использованием инструментов современного интернета (Googl Docs, Delicious/BobrDoobr, Mind
Методическая разработка входит в серию дистанционных уроков английского и немецкого языков , разрабатываемых с целью подготовки учащихся к выполнению письменной части ЕГЭ по указанным дисциплина...
![](/sites/default/files/pictures/2015/09/27/picture-675006-1443371054.jpg)
Методическая разработка урока "Амины. Анилин", Методическая разработка урока "Многоатомные спирты"
Урок, разработан для учащихся 10 класса, обучающихся по базовой программе. Учебник "Химия 10" О.С. Габриелян.Урок, разработан для учащихся 10 класса, обучающихся по базовой программе. Учебник "Химия 1...