Методические разработки
методическая разработка по алгебре на тему

Итоговый проект по теме:

«Разработка урока в 9 предпрофильном

физико – математическом классе

по решению задач с параметрами».

Выполнила: Пашикина С.И.,

учитель математики МОУ лицей

г. Железнодорожный Московской области

2012 год

          Разработка урока по теме «Параметры» содержит материалы для обобщения знаний выпускников основной школы, полученных ими на протяжении всех лет занятий математикой, а также памятки для решения таких заданий.

Как известно, во 2 части задания для проведения государственной итоговой аттестации для выпускников основной школы (ГИА) одним из заданий является задача с параметром. Но в курсе основной школы задачам с параметрами не уделяется достаточно внимания. Одним из способов решения этой проблемы можно предложить такой обобщающий урок в рамках повторения курса основной школы и подготовки к итоговой аттестации.

Разработка урока в 9 предпрофильном физико - математическом классе по теме «Параметры».

Цель урока:

• систематизировать и обобщить ранее изученный в основной школе материал по данной теме и рассмотреть его на более высоком уровне сложности.

Задачи:

• изучить методы и способы решения некоторых типов задач,
• развивать логическое мышление школьников,
• развивать навыки само и взаимоконтроля

Оборудование, необходимое для урока: компьютер и мультимедийная установка.

Раздаточный материал  для каждого ученика:

1. Памятка для решения задач с параметрами (приложение №1)

2. Карточка с заданиями с параметрами для домашней работы

  (приложение №2)

Ход урока:

     1. Работа  с памяткой для решения задач с параметрами по вопросам:

а) что такое «параметр»?

б) что значит решить уравнение?

2. Решение устных упражнений с параметрами (приложение№3) в форме фронтальной работы.

3. Анализ алгоритма решения линейных уравнений с параметром (приложение №1)

4. Самостоятельное решение линейного уравнения с параметром с использованием разобранного алгоритма, с последующей проверкой:

Решить уравнение с параметром:  2а(а–2) х = а–2

1) «Контрольными» значениями являются значения, удовлетворяющие условию:

2а (а–2)=0

решим это уравнение относительно переменной а.

2а=0 или а–2=0, откуда а=0, а=2.

2) Решим первоначальное уравнение при «контрольных» значениях параметра.

При а=0 имеем 0⋅ х= –2, но это не имеет место ни при каких действительных значениях х, то есть в этом случае уравнение корней не имеет.

При а=2 имеем 0⋅х=0. Это справедливо при любом значении х, значит, корнем уравнения является любое действительное число х.

3) Решим первоначальное уравнение, в случае, когда а≠0 и а≠2, тогда 2а(а–2)≠0 и обе части уравнения можно поделить на 2а(а–2), получим:

, так как а≠2, то дробь можно сократить на (а–2), тогда имеем .

Ответ:         при а=0, корней нет;

                    при а=2, корень – любое действительное число;

                              при а≠0, а≠2, .

5. Решение двух несложных уравнений (по вариантам), при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничениями,  накладываемыми на переменную и параметр. На доске выполнить проверку решения.

1)  = 1.

Решение.

Очевидно х ≠ 2. Умножив обе части уравнения на (х – 2) ≠0, получим

  а = х – 2, или х = а + 2.

Затем проверим, нет ли таких значений параметра а, при которых найденное значение х было бы равно числу 2, т.е. решим уравнение

2 = а + 2 относительно а.

Получим, что при а = 0 х = 2, но число 2 не входит в область определения исходного уравнения, следовательно, не может быть его корнем.

       Ответ: при а = 0  корней нет

                   при а ≠ 0  х = а + 2.

                     2)  + 3 = 5 – х    

Решение.

 Так как знаменатель дроби не должен обращаться в нуль, то а = 0 не входит в область допустимых значений параметра а, поскольку при подстановке а = 0 в уравнение (2) выражение  не имеет смысла

                           + х = 2,             х( + 1) = 2

Рассмотрим два случая:        

1)  + 1 = 0                                2)  + 1 ≠ 0     а + 1 = 0                                             а ≠ -1, а ≠ 0

     а = -1                                                  х =

     0·х = 2

     Нет корней

Ответ:   при а = -1    корней нет

              при а ≠ -1, а ≠ 0  х =

6.  Домашнее задание: 

а) разобрать  алгоритм решения квадратного уравнения с параметром по карточке – памятке (приложение №1);

б) выполнить три любых уравнения из первых шести карточки  (приложение №2).

Приложение № 1

Памятка для решения задач с параметрами.

Параметр – это неизвестное, но фиксированное число.

Решить уравнение с параметрами – это значит:

1. Указать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.
2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение определяет корень уравнения.

В процессе решения этого уравнения выделяют значение параметра, при котором происходит качественное изменение уравнения. Такое значение параметра назовем «контрольным».

1. Линейные уравнения с параметром.

Алгоритм решения:

1. Определить «контрольные» значения параметра.

2. Решить уравнение относительно х, при контрольных значениях параметра.

3. Решить уравнение относительно х, при значениях, отличных от «контрольных».

4.  Записать ответ в виде:

Ответ:         1) при значениях параметра ... , уравнение имеет корни ... ;

                2) при значениях параметра ... , уравнение имеет корни ... ;

                3) при значениях параметра ... , уравнение корней не имеет

2. Квадратные уравнения с параметром.

Алгоритм решения:

1. Найти значения параметров и неизвестной, при которых уравнение не имеет смысла (если, конечно, такие есть).
2. Привести уравнение к стандартному виду квадратного уравнения (если это необходимо).
3. Найти «контрольные» значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х2.
4. Решить уравнение при этих значениях а, проверить, все ли найденные корни соответствуют п.1.
5. Найти «контрольные» значения параметра, обращающие в нуль дискриминант уравнения и найти корни уравнения при этом значении параметра, после чего проверить удовлетворяют ли они п.1.
6. Записать корни уравнения при значениях параметра, для которых D>0, проверить, удовлетворяют ли они п.1.

7.  Записать ответ.

Приложение № 2.

Упражнения для домашней работы

1) При каких значениях k уравнение  имеет корни?

2) Найти все целые значения k, при которых уравнение имеет два корня?

3) При каком значении  m уравнение  имеет два корня?

4) При каких значениях a корни уравнения  принадлежат промежутку ?

5) При каких значениях a один  корень уравнениябольше  0,5, а другой меньше 0,5?

6) При каких значениях a уравнение  имеет два различных положительных корня?

7) При каких значениях  а неравенство выполняется при всех значениях х?

8) При каких значениях  а неравенство не выполняется  ни при всех значениях х?

9) При каких значениях n парабола  целиком расположена ниже прямой ?

10) При каких значениях n вершины парабол  и  расположены по разные стороны от оси х?

Приложение № 3

Презентация.

Содержание слайдов.

Используемые материалы: 

Варкентина Т.И. Решение задач, содержащих параметры.(методический блок для педагогов  элективного  курса)

Кармакова Т.С. (МИФ-2, №4, 2005) Задачи с параметрами

Карпова И. В. Решение уравнений с параметрами

Посоева С. В. Уравнения с параметрами. Программа элективного курса по математике.

ГБОУ СПО МО «МОСКОВСКИЙ  ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ

ТЕХНИКУМ»

Методические рекомендации к внеаудиторной самостоятельной работе студентов по дисциплине

 «Математика»

по специальности 210422 Радиотехнические информационные системы

г. Железнодорожный

2013-2014 уч.г.

Методические рекомендации к внеаудиторной самостоятельной работе студентов по  учебной дисциплине разработаны на основе Федерального государственного образовательного стандарта и действующей рабочей программы по специальности среднего профессионального образования

210422 радиотехнические информационные системы

Организация-разработчик: ГБОУ СПО МО «МОСКОВСКИЙ  ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

Разработчик: Пашикина С.И., преподаватель математики МГМТ

Рассмотрена и одобрена на заседании предметной цикловой комиссии радиотехнических и естественнонаучных дисциплин

протокол № 1  от «29» августа 2014 г.

Председатель: _____________В.П. Куняева

Рекомендована Методическим  советом Государственного образовательного учреждения среднего профессионального образования Московской области «Московский гидрометеорологический техникум» (ГБОУ СПО МО МГМТ)

Протокол №1  от «29» августа 2014 г.

Пояснительная записка

Внеаудиторная самостоятельная работа является одним из видов учебных занятий обучающихся техникума.

Основные цели внеаудиторной самостоятельной работы по учебной дисциплине «Математика»:

• овладение    знаниями:    аналитическая работа с текстом  (учебника, первоисточника,  дополнительной литературы), составление опорного конспекта;    
• формирование умений: выполнение графических работ,  решение задач и упражнений по образцу; решение вариативных задач и  упражнений;
• систематизация и закрепление знаний и практических умений обучающихся;
• углубление и расширение теоретических знаний, формирование умений использовать справочную и дополнительную литературу;
• развитие познавательных способностей и активности обучающихся, творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;

На внеаудиторную самостоятельную работу в курсе изучения дисциплины «Математика» отводится 146 часов. Методические рекомендации помогут студентам  целенаправленно изучать материал по теме, определять свой уровень знаний и умений при выполнении самостоятельной работы.

Тематический план внеаудиторной самостоятельной работы.

Методические рекомендации по подготовке презентации

Компьютерную презентацию, сопровождающую выступление докладчика, удобнее всего подготовить в программе MS PowerPoint. Презентация как документ представляет собой последовательность сменяющих друг друга слайдов - то есть электронных страничек, занимающих весь экран монитора (без присутствия панелей программы). Чаще всего демонстрация презентации проецируется на большом экране, реже – раздается собравшимся,  как печатный материал. Количество слайдов адекватно содержанию и продолжительности выступления (например, для 5-минутного выступления рекомендуется использовать не более 10 слайдов).

На первом слайде обязательно представляется тема выступления и сведения об авторах.

Максимальное количество графической информации на одном слайде – 2 рисунка (фотографии, схемы и т.д.) с текстовыми комментариями (не более 2 строк к каждому). Наиболее важная информация должна располагаться в центре экрана.

Слайд, без эффектов анимации должен демонстрироваться на экране не менее 10 - 15 секунд. За меньшее время присутствующие не успеет осознать содержание слайда. Если на слайде приводится сложная диаграмма, ее необходимо предварить вводными словами (например, «На этой диаграмме приводится то-то и то-то, зеленым отмечены показатели А, синим – показатели Б»), с тем, чтобы дать время аудитории на ее рассмотрение, а только затем приступать к ее обсуждению. Каждый слайд, в среднем должен находиться на экране не меньше 40 – 60 секунд (без учета времени на случайно возникшее обсуждение). В связи с этим лучше настроить презентацию не на автоматический показ, а на смену слайдов самим докладчиком.

Особо тщательно необходимо отнестись к оформлению презентации. Для всех слайдов презентации по возможности необходимо использовать один и тот же шаблон оформления, кегль – для заголовков - не меньше 24 пунктов, для информации не менее 18. В презентациях не принято ставить переносы в словах.

Для лучшей ориентации в презентации по ходу выступления лучше пронумеровать слайды. Желательно, чтобы на слайдах оставались поля, не менее 1 см с каждой стороны.

Критерии оценивания:                       Содержание оценки

Критерии оценивания решения задач

Отметка «5» ставится, если:

• работа выполнена полностью, в логических  рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
• в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится, если:

• работа выполнена полностью, но в обосновании шагов решения недостаточны;
• допущена 1-2 ошибки или 1 ошибка и два-три недочета в выкладках,  графиках.

Отметка «3» ставится, если:

• допущены 3 ошибки или 2 ошибки и более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

• допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере

Методические рекомендации по составлению конспекта.

1. Внимательно прочитайте текст. Уточните в справочной литературе непонятные слова. При записи не забудьте вынести справочные данные на поля конспекта;

2. Выделите главное, составьте план;

3. Кратко сформулируйте основные положения текста, отметьте аргументацию автора;

4. Законспектируйте материал, четко следуя пунктам плана. При конспектировании старайтесь выразить мысль своими словами. Записи следует вести четко, ясно.

5. Грамотно записывайте цитаты. Цитируя, учитывайте лаконичность, значимость мысли.

В тексте конспекта желательно приводить не только тезисные положения, но и их доказательства. При оформлении конспекта необходимо стремиться к емкости каждого предложения. Мысли автора книги следует излагать кратко, заботясь о стиле и выразительности написанного. Число дополнительных элементов конспекта должно быть логически обоснованным, записи должны распределяться в определенной последовательности, отвечающей логической структуре произведения. Для уточнения и дополнения необходимо оставлять поля.

Овладение навыками конспектирования требует от студента целеустремленности, повседневной самостоятельной работы.

Критерии оценивания конспектов

Отметка «5» ставится, если:

• работа  содержит полные ответы на все теоретические вопросы для составления конспекта;

Отметка «4» ставится, если:

• работа  содержит неполный ответ хотя бы на один  теоретический вопрос для составления конспекта;

Отметка «3» ставится, если:

• работа  содержит неполные ответы на  2  теоретических вопроса для составления конспекта.

Отметка «2» ставится, если:

• работа  содержит неполные ответы на  2  и более теоретических вопроса для составления конспекта.

Методические рекомендации по выполнению графической работы

Графическая работа выполняется на листах миллиметровой бумаги формата А-4. Необходимые пояснения и вычисления к работе пишутся на обратной стороне листа. Все пояснения желательно записывать с помощью математических символов с минимальным использованием обычного текста. При этом все необходимые обоснования к работе должны быть записаны. Перечислены все этапы построения.

Критерии оценивания графической работы.

 Отметка «5» ставится, если: все построения выполнены правильно, аккуратно; описаны и обоснованы все этапы построения

Отметка «4» ставится, если:

допущены несущественные ошибки при построении, или построение выполнено верно, но не все этапы построения описаны и обоснованы.

Отметка «3» ставится, если:

допущены серьёзные ошибки при построении, но сохранена их логика, или при верном построении отсутствует его описание и обоснование

Отметка «2» ставится, если:

построение выполнено неверно

Список литературы.

1.        Башмаков М.И. Математика: учебник: для учреждений начального и среднего профессионального образования. М:Издательский центр «Академия», 2013.

2.        Башмаков М.И. Математика: задачник для учреждений начального и среднего профессионального образования. М:Издательский центр «Академия», 2013.

3.        Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика: учебник для учреждений среднего профессионального образования. М: Издательский центр «Академия»,2010.

4.        Выготский М.Я. Справочник по высшей математике. М: Наука, 2007.

5.        Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл.   – М., 2000.

6.        Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2000.

7.        Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 кл. – М.,  2005.

8.        Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 11 кл. – М., 2005.

9.        Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10—11 кл. – М.,  2005.

10.        Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб. пособие. – М., 2004.

11.        Башмаков М.И. Математика: учебник для 10 кл. – М., 2004.

12.        Богомолов Н.В. Математика. учебник для учреждений среднего профессионального образования. М: Издательский центр «Дрофа»,2010

13.        Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2000.

14.        Колягин Ю.М. и др. Математика (Книга 1). – М., 2003.

15.        Колягин Ю.М. и др. Математика (Книга 2). – М., 2003.

16.        Луканкин Г.Л., Луканкин А.Г. Математика. Ч. 1: учебное пособие для учреждений начального профессионального образования.  – М., 2004.

17.        Пехлецкий И.Д. Математика: учебник.  – М., 2003.

18.        Смирнова И.М. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2000.

Интернет ресурсы.

http://alone.sammit.kiev.ua/moremind/illusion/index.html

http://www.im-possible.info/english/art/mey/mey2.html

http://lib.world-mobile.net/culture/special/imp/imp-world-r.narod.ru/art/index.html

http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/work.html

http://schools.techno.ru/sch758/2004/geometr/a.htm 

http://www.intergu.ru/infoteka

Тема 1. Развитие понятия о числе.

1. Вид самостоятельной работы.

Работа над контрольными вопросами:

1. Формулы возведения в степень комплексного числа, записанного в алгебраической форме. Примеры.

2. Преобразование выражений, содержащих степени комплексного числа.

[1] стр.16-23

3. Решение вариативных задач по теме.

Ответы необходимо записать в тетрадь с конспектами по математике,  для дальнейшего использования при решении подобных задач на занятиях.

На каждую формулу необходимо привести разобранный пример.

2. Вид самостоятельной работы.

Решение вариативных задач по теме.

Справочные материалы для решения задач.

• Сравнение

означает, что и (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

• Сложение

• Вычитание

• Умножение

• Деление

• В частности,

Задание по теме.

1. Даны комплексные числа: , , .

Вычислите:

а);    б) ;     в) ;    г) ;    д) ;    е) .

2. Вычислите:   а) (2 - i)(2 + i) - (3 - 2i) + 7;   б) (1 + i)4.
3. Найти частное комплексных чисел:   а) ;       б) ;     в) .
4. Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме:  

   а) -3;        б) -i;         в) 1 + i;         г).

5. Найти координаты точки M, изображающей комплексное число  

.

6. Решите уравнения в комплексных числах:

              а) ;            б)

Тема 2. Корни, степени и логарифмы.

1. Вид самостоятельной работы.

Самостоятельное изучение темы:

 «Алгоритмы решения показательных и логарифмических уравнений с переменной в основании». Составить опорный конспект. [12] стр. 123-126

План конспекта

• Определение показательного уравнения с переменой в основании.
• Алгоритмы решения для двух случаев: основание больше единицы, основание меньше единицы и больше нуля.
• Обобщённый алгоритм.
• Примеры решения
• Определение показательного уравнения с переменой в основании.
• Алгоритмы решения для двух случаев: основание больше единицы, основание меньше единицы и больше нуля.
• Обобщённый алгоритм.
• Примеры решения

2. Вид самостоятельной работы.

Сообщение по теме:

 «Число e –основание натурального логарифма». [12] часть1, глава2, §17.

В сообщении необходимо отразить:

• историческую составляющую данного вопроса; рассказать об учёных, впервые сформулировавших понятие экспоненты
• показать место числа среди других трансцендентных величин
• современные способы вычисления значения этого числа.

1. Решение вариативных задач по теме.

1. Найти значение выражения:

а)         ;  y=;  

        b)         -  ;   - .

      2.  Построить график функции:

        a)        y=;    y=;

           b)        y=;  y=.

      3.  Решить уравнение:

        a)        = 216;  = 128;

           b)          = 0;   = 0.

       4. Решить неравенства:

        a)         ≤ ;   > ;

        b)         ≤  ;   > .

Тема 3. Прямые и плоскости в пространстве..

1. Вид самостоятельной работы.

Графическая  работа:

 «Выполнение чертежей на построение сечений многогранника», индивидуальные задания для каждого учащегося (чертежная бумага формат А-4).

Для решения многих геометрических задач, связанных с многогранниками, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.     

Построить сечение многогранника плоскостью – это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника. Для построения сечения многогранника плоскостью нужно в плоскости каждой грани указать две точки, принадлежащие сечению, соединить их прямой и найти точки пересечения этой прямой с ребрами многогранника [5].

Повторим формулировки аксиом А2, А3.   

А2. Если две плоскости имеют общую точку, то  они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

А3. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

           Таким образом, для построения сечения многогранника плоскостью необходимо в плоскости каждой грани указать две точки, принадлежащие сечению.  Рассмотрим примеры построения простейших сечений.

Задания для самостоятельной работы.

1. Дан наклонный параллелепипед   АВСDА1В1С1D1. Отметьте внутреннюю точку M грани АА1В1В.

Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через т. М параллельно:

а) грани ВВ1С1С;

б) плоскости основания АВСD;

в) изобразите отрезок, по которому эти сечения пересекаются.

    2.  Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки О D1C1,   К A1B1,                Н AB.

     3.  Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1.

Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки S D1C1,  К СС1,  N ВС.

    4. Построить сечение четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки МSD  , РAS и  К, где К принадлежит плоскости основания.

Индивидуальные задания.

Тема 4. Комбинаторика.

1. Вид самостоятельной работы.

Сообщение по теме: «Диаграммы Эйлера-Венна и их применение в теории множеств».

Литература: [1], [5], [12], [14], интернет-ресурсы.

Методические рекомендации: Привести не менее трёх примеров задач комбинаторики, решаемых с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

2. Вид самостоятельной работы:

Решение вариативных задач по теме.

Задача 1. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

Задача 2. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

Задача 3. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

Задача 4. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?

Задача 5. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать.

Задача 6. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?

Задача 7. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

Задача 8. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?

Задача 9. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и Институт?

Задача 10. Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается?

Тема 5. Координаты и векторы.

1. Вид самостоятельной работы.

Презентации по теме:  « Вычисление расстояний и углов внутри многогранников».

 [6], [18], интернет-ресурсы.

Виды презентаций:

1. Расстояние между точками в пространстве.
2. Расстояние между точкой и прямой в пространстве.
3. Расстояние между прямыми в пространстве.
4. Расстояние между точкой и плоскостью в пространстве.
5. Расстояние между прямой и плоскостью в пространстве.
6. Расстояние между плоскостями в пространстве.
7. Углы между прямыми в пространстве.
8. Угол между прямой и плоскостью
9. Угол между плоскостями.

Методические рекомендации: привести примеры построения расстояний и углов внутри различных многогранников (прямоугольный параллелепипед, треугольная, и шестиугольная призма, тетраэдр, четырёхугольная и шестиугольная пирамида).

Тема 6. Основы тригонометрии.

1. Вид самостоятельной работы.

Графическая работа по теме:

 «Преобразование графиков тригонометрических функций».

 Индивидуальное задание для каждого учащегося (выполняется на бумаге с миллиметровой сеткой).  Изобразить промежуток, не менее двух периодов фунуции.

[1] стр. 107-112, 133-136.

Задание: Построить графики функций методами параллельного переноса и сжатия-растяжения графиков. Описать и обосновать этапы построения.

1. a) y=    b) y=     c) y= 
2. a) y=    b) y=     c) y=
3. a) y=    b) y=     c) y=
4. a) y=    b) y=     c) y=
5. a) y=    b) y=     c) y=
6. a) y=    b) y=     c) y=
7. a) y=    b) y=     c) y= 
8. a) y=    b) y=     c) y=
9. a) y=    b) y=     c) y=
10.  a) y=    b) y=     c) y=

Тема 7. Функции, их свойства и графики.

1. Вид самостоятельной работы.

Графическая работа по теме: «Преобразование графиков функций».

 Индивидуальное задание для каждого учащегося (выполняется на бумаге с миллиметровой сеткой).

Методические рекомендации: Изобразить график функции, перечислить свойства данной функции.

Задание.

1. a) y=x2+3x-4      b) y=– 1
2. a) y=x2-3x-4      b) y=+1
3. a) y=x2+2x-3      b) y=– 2
4. a) y=x2-2x-3      b) y=+2
5. a) y=x2+x-2      b) y=– 1
6. a) y=x2-x-2      b) y=+ 1
7. a) y=x2+4x-4     b) y=– 3
8. a) y=x2-4x-1      b) y=+3
9. a) y=x2+3x-4      b) y=– 4
10.  a) y=x2-3x-4      b) y=+4

Тема 8. Многогранники

1. Вид самостоятельной работы.

Презентации по темам:

1. «Правильные многогранники. Теорема Эйлера»
2. «Платоновы тела»
3. «Архимедовы тела»

[1] стр.152-156, [12] стр., часть 3, глава 13, §85, интернет –ресурсы.

2. Вид самостоятельной работы.

Решение вариативных задач.

1. Вписать в таблицу количество граней, вершин и ребер каждого из указанных многогранников и найти для каждого многогранника число Эйлера: Х=В+Г-Р. Сделать вывод.

2.  Решить текстовые задачи:

а) Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см. и 24 см., а высота параллелепипеда равна 10 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда.

б) Основание пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м. и 4 м. и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

2) Практическая работа по группам. (Работа с моделями  различных многогранников, изготовленных из цветного картона). Каждая группа вычисляет площадь 3-5 многогранников. Задание: Найти полную площадь поверхности многогранников.

Тема 9. Прямые и плоскости в пространстве..

1. Вид самостоятельной работы.

Сообщения по теме:

 «Определение тел вращения через коническую, цилиндрическую и сферическую поверхность».

 [6] , [18] , [19], [20] , [24], интернет-ресурсы.

Содержание сообщений..

1. Определение конической поверхности. Элементы поверхности. Виды. Изображение.

Определение конуса.

Определение прямого кругового конуса.

2. Определение цилиндрической поверхности. Элементы поверхности. Виды. Изображение.

Определение цилиндра.

Определение прямого кругового цилиндра.

3. Определение сферической поверхности. Элементы поверхности. Виды. Изображение.

   Определение сферы.

Тема 10. Начала математического анализа

1. Вид самостоятельной работы.

Аналитическая работа с текстом:

1. Составить таблицу замечательных пределов. [12]  часть1, глава 4, §43.
2. Составить таблицу эквивалентных функций

Методические рекомендации: Подобрать пример на применение всех формул таблиц и решить.

2. Вид самостоятельной работы.

Решение вариативных задач.

1. Вычислить пределы:

Вариант 1  

;                      

Вариант 2

;                      

Вариант 3  

;      

Вариант 4  

;                     

Вариант 5  

 ;                      

Вариант 6  

;                

Вариант 7  

;    

Вариант 8  

;                

Вариант 9  

;                  

Вариант 10

;                  

Образец решения

Пример 1.

Найти      

Решение:   

Ответ. 

Пример 2.

Найти    

Решение:  

Ответ. 

Пример 3.

Найти     

Решение:  

Ответ. 

Пример 4.

Найти

  Решение:  В данном случае мы имеем неопределенность вида . Выделим целую часть и сведем ко второму замечательному пределу:

 ;       или разделим числитель и знаменатель на x

.

Ответ. 

2.  Исследовать функцию на монотонность и экстремум:

Пример. Исследовать функцию =x3-3x-4 на монотонность.

Решение:

          +                  -                    +

                                                             Х

                 -1                         1

  при 

  при 

Ответ: данная функция возрастает при  и убывает  

Тема 11. Измерения в геометрии.

1. Вид самостоятельной работы.

Самостоятельное изучение темы:

 «Вычисление объёма тел вращения с помощью определённого интеграла». Составить опорный конспект. [1] стр.205-211. Привести примеры.

2. Вид самостоятельной работы.

Решение вариативных задач.

1. Вычислить определённый интеграл.

2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями. Результат округлить до 10-2.

Тема 12. Элементы теории вероятности и математической статистики.

1. Вид самостоятельной работы.

Решение вариативных задач .

1. Задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы указаны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности p этих возможных значений). Найти:

1. математическое ожидание,
2. дисперсию,
3. построить многоугольник распределения.

1.1                                                                                          

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1.10

1. Рассчитать средний возраст студентов в группе из 20 человек:  

Справочные материалы.

Простая средняя арифметическая — Равна отношению суммы индивидуальных значений признака к количеству признаков в совокупности

Пример 1. Бригада из 6 рабочих получает в месяц 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тыс. руб.

Найти среднюю заработную плату.
Решение: 

(3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 тыс. руб.

Взвешенная средняя арифметическая — равна отношению (суммы произведений значения признака к частоте повторения данного признака) к (сумме частот всех признаков). Используется, когда варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз.

Представим это в виде следующей формулы:

•  — цена за единицу продукции;
•  — количество (объем) продукции;

Пример 2. Найти среднюю заработную плату рабочих цеха за месяц

Средняя заработная плата может быть получена путем деления общей суммы заработной платы на общее число рабочих:

Ответ: 3,35 тыс.руб.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называ-ется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

М(Х) = х1р1 + х2р2 + … + хпрп .

Пример 3. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, зная закон ее распределения: 

Решение: По формуле  находим математическое ожидание:

M (X) = 5*0,2 + 4*0,5 + 3*0,3 = 3,3.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D (X) = M [X - M (X)]2.

Пример 4. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения: 

Решение: По формуле  находим математическое ожидание:

M (X) = 1*0,3 + 2*0,5 + 5*0,2 = 2,3.

Записываем все возможные значения квадрата отклонения:

[X1 - M (X)]2 = (1 - 2,3)2 = 1,69;

[X2 - M (X)]2 = (2 - 2,3)2 = 0,09;

[X3 - M (X)]2 = (5 - 2,3)2 = 7,29.

Тогда закон распределения квадрата отклонения имеет следующий вид: 

По формуле  находим дисперсию:

D (X) = 1,69*0,3 + 0,09*0,5 + 7,29*0,2 = 2,01.

Тема 13. Решение уравнений и неравенств.

1. Вид самостоятельной работы.

Аналитическая работа с текстом:

Составление схем алгоритмов решения уравнений, содержащих модуль.

 [12] часть1,глава 1, §5

 Привести пример решения на каждую схему.

2. Вид самостоятельной работы.

Решение вариативных задач

Тема 3. Прямые и плоскости в пространстве..

1. Вид самостоятельной работы.

Тема 3. Прямые и плоскости в пространстве..

1. Вид самостоятельной работы.

Лист контроля выполнения ВСР

Группа_____________________________________________

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования Московской области

«МОСКОВСКИЙ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

(ГБОУ СПО МО МГМТ)

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

по выполнению домашней контрольной работы

по дисциплине «МАТЕМАТИКА»

для студентов заочного отделения

(для всех специальностей)

Железнодорожный

2013 г.

Аннотация

Пособие предназначено для оказания помощи студентам заочного отделения при выполнении домашней контрольной работы по математике или по элементам высшей математики. Пособие включает в себя некоторые разделы, имеющиеся в этих курсах.

Пособие может быть использовано студентами дневной формы обучения.

Автор: Пашикина С.И.- преподаватель ГБОУ СПО МО МГМТ

Содержание

1. Теория пределов.
2. Линейная алгебра.
3. Дифференциальное исчисление.
4. Интегральное исчисление.
5. Элементы дискретной математики.
6. Комплексные числа.
7. Элементы теории вероятностей.
8. Литература.

1.  Теория пределов

       Изучить по учебной литературе вопросы:

1. Определение предела функции.
2. Свойства пределов функций.
3. Вычисление пределов функций при наличии неопределенности типа 0/0.
4. Вычисление пределов функций, являющихся неопределенностями типа ∞/∞.
5. Понятие разрыва функции. Типы разрывов.
6. Асимптоты графиков функций, их виды и уравнения.
7. Первый и второй замечательные пределы.

Примеры решения задач

1. Вычислить пределы функций:

2. Составить уравнения асимптот к графику функции:

Решение

        а) Графики функций могут иметь асимптоты трех видов: горизонтальные, вертикальные и наклонные.

     Для определения горизонтальной асимптоты следует вычислить предел функции при условии, что х→∞. Если такой предел существует, то график функции имеет горизонтальную асимптоту.

   В примере    График функции имеет горизонтальную асимптоту с уравнением  у=2.

   Для определения вертикальной асимптоты следует определить значения, при которых функция не существует и найти левые и правые пределы функции. Если хотя бы один из пределов бесконечен, то имеется вертикальная асимптота.

    В примере функция не существует при х=3.

              Так как оба предела бесконечны, то имеется

вертикальная асимптота с уравнением  х=3.

    Для определения наклонной асимптоты с уравнением   y=kx +b  находят

       Если первый предел не существует или равен 0, то нет наклонной асимптоты.

    В примере    

   Так как  k=0, то наклонной асимптоты не имеется.

   б)  

    Выполним последовательно значения пределов:

   График функции не имеет горизонтальной асимптоты.

   Функция не существует при х=0,5

     График функции имеет вертикальную асимптоту

   с уравнением  х=0,5

   Вычислим     График функции имеет наклонную асимптоту.  

Наклонная асимптота имеет уравнение    у=0,5х + 0,25

3.  Построить график функции, определив тип точек разрыва:

   Для заданной функции точками разрыва являются значения аргумента (-2) и 1.

Найдем левые и правые предельные значения функции для этих значений аргумента.

Для построения графика функции с учетом определения типов точек разрыва, потребуется вычисление значений функции в некоторых промежуточных точках

  а)  x<-2    y=-x2-6x-7 (парабола)

   б)  -2<1    y=x+3 (прямая)    

   в)  х>1   

    Если вычислить , то получим уравнение горизонтальной

     асимптоты     у=-1

2.Линейная алгебра

Изучить по учебной литературе вопросы:

1. Матрицы, их виды.
2. Действия над матрицами.
3. Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков.
4. Обратная матрица, ее определение и получение обратной матрицы второго и третьего порядков.
5. Решение матричных уравнений.
6. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, в виде матричного уравнения.

Примеры решения задач.

         !. Выполнить действия над матрицами

             Составить матрицу М=(2А – В)(В+Е)

        Решение

   Составим матрицу 2А – В, для чего все элементы матрицы А умножим на 2, а затем из каждого элемента матрицы 2А вычтем соответствующий элемент матрицы В.

Составим матрицу В+Е, где матрица Е является единичной матрицей третьего порядка:

Матрица М является произведением полученных матриц, то-есть каждый ее элемент равен сумме произведений соответствующих элементов строки матрицы 2А-В и столбца матрицы В+Е

2. Вычислить определитель матрицы:

     а)

Решение

а) Для вычисления определителя второго порядка воспользуемся правилом, изложенным в учебной литературе:

б) Для вычисления определителя третьего порядка воспользуемся одним из правил, называемым разложением по элементам первой строки:

3. Найти обратную матрицу для матрицы второго порядка

Решение

Для получения обратной матрицы А-1 воспользуемся формулой  , где

Для проверки можно найти произведение матриц А и А-1; должна получиться единичная матрица второго порядка.

4. Решить систему уравнений по формулам Крамера  

Решение

Для решения задачи нужно вычислить четыре определителя третьего порядка:

• главный определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных;
• дополнительный для х, полученный из главного определителя заменой чисел первого столбца на свободные члены;
• дополнительный для у, полученный из главного определителя заменой чисел второго столбца на свободные члены;
• дополнительный для z, полученный из главного определителя заменой чисел третьего столбца на свободные члены;

Для получения значений неизвестных требуется разделить значения дополнительных определителей на главный определитель.

Решение задачи можно проверить при помощи найденных значений в уравнения системы.

3. Дифференциальное исчисление

   Изучить по учебной литературе вопросы:

7. Производная функция: определение, свойства, таблица производных.
8. Исследование функции на монотонность.
9. Исследование функции на выпуклость (вогнутость) и точки перегиба.
10. Исследование функции на экстремум.
11. Геометрический и механический смыслы производной.
12. Построение графика функции, используя схему исследования свойств.

   Примеры решения задач

1. Найти производные функций:

Решение

При выполнении дифференцирования будем использовать свойства производных, таблицу производных, правило дифференцирования сложных функций.

2. Выполнить исследование свойств функции по первой и второй производным и построить график функции  f(x)=x3 - 3x2 - 45x + 20

   Решение

   Воспользуемся некоторыми пунктами исследования функции:

1)Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел. Эта функция не является четной или нечетной. График этой функции не имеет асимптот.

1. Найдем первую производную и определим соответствующие свойства

       функции.   f’(x)=3x2 – 6x –45. Решим уравнение  3х2 – 6х – 45 = 0. Корнями уравнения являются числа (-3) и 5.

       Воспользуемся таблицей:

Функция возрастает в интервалах (-∞;-3) и (5;∞), убывает в интервале (-3; 5).

Функция имеет максимальное значение f(-3)=101, имеет минимальное значение  f(5)= - 155.

2. Найдем вторую производную f”(x)=(3x2 – 6x –45)’=6x-6.

                    Решим уравнение 6х-6=0. Решением уравнения является х=1.

                   Для определения свойств функции воспользуемся таблицей:

3. Для построения графика функции воспользуемся результатами вычислений, оформленными в виде таблицы:

4. Интегральное исчисление

   Изучить по учебной литературе вопросы:

13. Неопределенный интеграл: определение, свойства, таблица интегралов.
14. Способы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, способ подстановки.
15. Определенный интеграл: определение, свойства, геометрический смысл.
16. Способы вычисления определенного интеграла.
17. Применение определенного интеграла к решению практических задач: вычисление площадей плоских фигур.

Примеры решения задач

1. Найти неопределенные интегралы:

Решение

При решении примеров следует пользоваться свойствами неопределенных интегралов, таблицей интегралов, в которую включена формула интеграла функции линейного аргумента, непосредственным интегрированием и методом подстановки.

б)  Выполнив почленное деление в подынтегральной функции, получим:

в)

г)  Будем использовать подстановку:

д)  Воспользуемся подстановкой:

2. Вычислить определенные интегралы:

Решение

При вычислении определенных интегралов используем формулу Ньютона-Лейбница

  .  Получение первообразной функции F(x) будем выполнять или непосредственно или способом подстановки.

б)

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=1 – х2 + 4х    и   2х – у – 2 =0

     Для определения точек пересечения линий составим уравнение из равенства выражений этих линий:  1 – х2 + 4х = 2х – 2; получим уравнение:  х2 – 2х – 3 = 0.

     Корнями этого уравнения являются числа:  (-1) и 3. Для построения линий найдем

 значения функций и составим их таблицы:

Построив фигуру на плоскости, вычислим ее площадь, определив значение интеграла

5. Дискретная математика

     Изучить по учебной литературе вопросы:

18. Множества, их виды, способы задания.
19. Простейшие действия над множествами.
20. Отношения, их некоторые виды.
21. Графы, их основные элементы.
22. Некоторые виды графов.

  Упражнения и их решение.

1. Составить объединение,  пересечение и разность двух множеств.

а) А={3; 4; 6; 7},  B={2; 3; 4; 5}

   A∪B={2; 3; 4; 5; 6; 7},   A∩B={3; 4},   A \ B ={6; 7}

б) А=(-1; 3]; B=[1; 5]

      A∪B=(-1;5];     A∩B=[1; 3];    A \ B=(-1; 1)  

  В этом упражнении решение следует сопровождать рисунками.

6. Комплексные числа

          Изучить по учебной литературе вопросы:

23. Определение комплексного числа в алгебраической форме.
24. Геометрическое изображение комплексного числа.
25. Тригонометрическая форма комплексного числа.
26. Выполнение арифметических действий над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах.

 Примеры решения задач

1. Построить на координатной плоскости числа Z1 , Z2, где  Z1=3-2i, Z2=-1+i.