Разработка урока на тему: "Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии.
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии.

Цели урока: 

• Образовательная: ввести понятие геометрической прогрессии, вывести  формулу n-ого члена геометрической прогрессии; закрепить умения и навыки применять изучаемые формулы;
• Развивающая: развитие логического мышления, познавательного интереса учащихся.
• Воспитательная: воспитание  самостоятельности, настойчивости ,  навыков коллективной работы.

Тип урока: объяснение нового материала.

План урока

1. Сообщение темы и цели урока.(2мин)
2. Повторение пройденного материала. (5мин)
3.  Объяснение нового материала.(15мин)
4. Закрепление изученного материала. (20мин)
5. Рефлексия (2мин)
6.  Домашнее задание. (1мин)

Оборудование: компьютер, интерактивная доска, презентация «Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии», учебник Алгебра для 9 класса, Ю.Н.Макарычев.

ХОД УРОКА

1. Сообщение темы и цели урока(2мин)

Тема сегодняшнего урока «Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии»  (слайд 1). На уроке мы должны познакомиться с геометрической прогрессией,  знаменателем геометрической прогрессии, с формулой n-ого члена геометрической прогрессии, и рассмотреть примеры, решать задачи.

2. Повторение пройденного материала (5мин)

Индивидуальная работа

• 1ученик: последовательность an- арифметическая прогрессия. Найдите:
• a11, если а1=20 и d=-3
• 2 ученик: найти сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии, если а1=6, d=-2
• Дайте определение арифметической прогрессии.
• Как найти разность арифметической прогрессии?
• Назовите формулу сумму первых n членов арифметической прогрессии.

3. Объяснение нового материала  (15мин)(слайд3)

Рассмотрим последовательности:

а) 2; 4; 8; 16; 32; 64; …
б) 2; 6; 18; 54; 162…
в) – 10; 100; – 1000;  10000; – 100000…

– Итак, что вы замечаете?

а) а1 = 2
а2 = 4
а3 = 8
а4 = 16
…

– Как взаимосвязаны между собой члены этой последовательности?
– Каждый последующий член последовательности равен предыдущему члену, умноженному на 2. (Слайд 4)

б)

а1 = 2
а2 = 6
а3 = 18
а4 = 54
…

– Как взаимосвязаны между собой члены этой последовательности?
– Каждый последующий член последовательности равен предыдущему члену, умноженному на 3. (Слайд 5)

в)

а1 = – 10
а2 = 100
а3 = – 1000
а4 = 10000

– Как взаимосвязаны между собой члены этой последовательности?
– Каждый последующий член последовательности равен предыдущему члену, умноженному на – 10. (Слайд 6)

– Рассмотренные последовательности называются геометрическими прогрессиями.
А теперь постараемся самостоятельно сформулировать определение геометрической прогрессии.
Определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. 
Иначе, последовательность (вn) – геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие

Вn = 0 и вn + 1 = bn * q,
где q =. (Слайд 7)

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.
Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии,  можно найти последовательно  второй, третий и вообще любой её член:

…
. (Слайд8)

Мы получили формулу n-ого члена геометрической прогрессии.

4. Закрепление изученного материала (15мин)

Итак, рассмотрим примеры решения некоторых задач с использованием этой формулы.

Пример 1.

В геометрической прогрессии b1=12,8 и q=1/4. Найти в7?

По формуле n-го члена геометрической прогрессии

b7=a1*q6

b7=12,8*(1/4)6= 128/10*1/46=27/10*212=1/25*10=1/320

Пример 2.

Найти пятый член геометрической прогрессии:  2; – 6…

Зная первый и второй члены геометрической прогрессии,    можно найти её знаменатель.

q = – 6 : 2 = – 3.

Таким образом  в5 = 2 * (–3) 4 = 162. (Слайд 10)

Пример 3. (слайд 11)

Вкладчик положил в банк 5000р на счет, по которому сумма вклада ежегодно возрастает на 8%. Какая сумма будет у него на счету через 6 лет?

Начальная сумма вклада составляла 5000р. Через год эта сумма возрастет на 8% и составит 108% от 5000р., т.е. будет равна 5000*1,08р. Через два года накопленная сумма составит (5000*1,08)*1,08р., т.е. 5000*1,082р. Через 3 года на счету у вкладчика будет  (5000*1,082)*1,08=5000*1,083р. и т.д.

Таким образом, мы имеем дело с геометрической прогрессией

5000,5000*1,08, 5000*1,082, 5000*1,083, …

Сумма, накопленная на счету у вкладчика, через 6 лет будет равна седьмому члену этой прогрессии, т.е. составит 5000*1,086

Выполнив вычисления, найдем, что  5000*1,086 =7934. Значит, на счету у вкладчика через 6 лет окажется сумма, приближенно равная 7934

А теперь посмотрим отличие между арифметическим и геометрическим прогрессиями

Составим две числовые последовательности с а1 = 5. d = 3  q = 3. В арифметической прогрессии каждый член равно предыдущему члену, сложенному на разность прогрессии. Т.е.

5+3=8

8+3=11

11+3=14

14+3=17

…

В геометрич прогрессии каждый член равно предыдущему члену, умноженному на знаменатель прогрессии

5*3=15

15*3=45

45*3=135

… (слайд12,13)

Работа с учебником.(слайд13)

1группа: 397(а), 401стр97

2 группа: 394(а), 395(б) стр 97

3 группа: №  387 (623) (а, б) стр 96,

а)b1=6, q=2

b2= b1*q = 6*2=12

b3=b1*q2=6*22=6*4=24

b4=b1*q3=6*23=48

b5=6*24=6*16=96

№ 391 (627)(а, б) стр 96,

401.

Срочный вклад, положенный в банк, ежегодно увеличивается на 90%. Каким станет вклад через 3 года, если вначале он был равен 800р.

Задача из ОГЭ

Дана геометрическая прогрессия bn, знаменатель которой равен -3, b1= - 6. Найдите b5

(Ответ: -486)

5. Рефлексия

1. Сформулируйте определение геометрической прогрессии.

2. Сформулируйте определение знаменателя геометрической прогрессии.

3. Назовите формулы n-го члена геометрической прогрессий.

6.Домашнее задание

№ 397(б) стр 97, 395(а) стр 97, каждый из своей книги ОГЭ выполнить задание 6