Иррациональные уравнения
учебно-методический материал по алгебре (9 класс)

           Иррациональные уравнения               А - 9

Уравнения, которые содержат переменную под знаком корня, называются иррациональными.

Например:  , .

При решении иррациональных уравнений их пытаются свести к рациональным уравнениям, а именно, уравнения, сводящиеся к линейным или квадратным. Обратная операция к извлечению корня – это возведение в ту степень, в которой находится корень.  Поэтому большинство иррациональных уравнений решается однократным или многократным возведением обеих частей уравнения в некоторую степень.

При решении иррациональных уравнений надо помнить:

1) при возведении в чётную степень . 

2)  при возведении обеих частей уравнения  в чётную степень мы получим уравнение , решая которое мы найдём не только корни исходного уравнения, но и корни уравнения  .

3) Поэтому при таком способе решения необходимо либо оговаривать знаки функций ,  до возведения в степень, либо в конце сделать проверку – подставить полученные значения в исходное уравнение и проверить, являются ли они его корнями.

Например, если возвести уравнение  в квадрат, то получим , корни которого . При проверке выясняется, что  не является корнем исходного уравнения.

Поэтому если при решении иррационального уравнения мы будем возводить обе части в чётную степень, то в конце обязательно будем выполнять проверку.

При возведении в нечётную степень таких проблем не возникает, так как минус при возведении в нечётную степень снова даёт минус. Например, уравнения  и  равносильны, так как имеют одинаковый действительный корень.

Первый тип иррациональных уравнений, который мы рассмотрим:

.

Алгоритм решения:

1) Возводим обе части уравнения в n-ю степень:

, 

.

2) Находим корни уравнения, полученного на первом шаге алгоритма: .

3) Выполняем проверку (если n – чётное). Подставляем каждый корень в исходное уравнение. Если получаем верное равенство, то корень подходит. Если неверное равенство, то нет.

Пример

Решить уравнения:

1)  ,

2) ,

3)  ,

Решение

1) 

В левой части стоит корень второй степени, чтобы избавиться от него, возведём обе части уравнения во вторую степень:

Решаем полученное уравнение:

.

Выполним проверку. Подставим найденный корень  3  в исходное уравнение.

Проверка:

.

Значит, корень 3 подходит.

Ответ: 3

2) 

В левой части стоит корень второй степени, чтобы избавиться от него, возведём обе части уравнения во вторую степень:

Решаем полученное уравнение

Выполним проверку. Подставим найденный корень 10 в исходное уравнение:

,

.

Значит, число 10 не является корнем исходного уравнения. Таким образом, уравнение решений не имеет.

Ответ: корней нет.

На самом деле то, что уравнение  не имеет решений, можно сказать сразу. Так как в левой части стоит квадратный корень, а он принимает только неотрицательные значения, а в правой части стоит (- 3 ) – отрицательное число.

3)   

 В левой части стоит корень третьей степени, чтобы избавиться от него, возведём обе части уравнения в третью степень:

Решаем полученное уравнение

Так как степень корня нечётная, проверку можно не выполнять.

Ответ: - 26

2. Решение уравнений вида  и 

Такие уравнения решаются по тому же алгоритму, что и уравнения вида  для 1)   Возводим обе части уравнения в квадрат.

2)   Решаем полученное уравнение.

3)   Выполняем проверку.

Пример

Решить уравнения:

1)       

2)      ,

3)      .

Решение

1)

 Возводим обе части уравнения в квадрат:

Получили квадратное уравнение. Решим его:

Выполним проверку:

.

.

Ответ: - 9; - 8.

2)   

 Возводим обе части уравнения в квадрат.

Выполним проверку.

                  ,

  .

Ответ: 2.

3)    

 Возводим обе части уравнения в квадрат.

Получили квадратное уравнение. Решим его:

Выполним проверку:

Обратите внимание: несмотря на то, что мы получили одинаковые выражения, 2 не будет корнем исходного уравнения, так как  не определен (корень чётной степени из отрицательных чисел не определён):

Ответ: .

Задания для самостоятельного решения: