Конспект урока по ФГОС "Радианная мера угла" 10 класс
план-конспект урока по алгебре (10 класс)

Конспект урока по ФГОС

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №29. Радианная мера угла

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) Понятие тригонометрической окружности;

2) Поворот точки вокруг начала координат;

3) Длина дуги окружности и площадь кругового сектора.

Глоссарий по теме

Окружность – это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.

Радиус окружности – отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

Дуга окружности – кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками.

Круговой сектор – часть круга, ограниченная двумя радиусами.

Угол в 1 радиан – центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На уроках геометрии мы с вами изучали окружность, её элементы, свойства. Повторим понятие окружности. Это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.

Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.

На окружности можно выделить дугу. А если рассмотреть круг - часть плоскости, ограниченной окружностью - то можно выделить круговой сектор.

«Окружность бесконечно большого круга и прямая линия – одно и то же» Г. Галилей

Действительно, и окружность и прямая – бесконечны. Рассмотрим окружность радиуса, равному 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной или тригонометрической. (рис.1)

Длина этой окружности (в предыдущей задаче велотрека), как мы помним из уроков геометрии, . А учитывая, что R=1, , осями координат она поделена на четыре дуги, которые находятся соответственно в I, II, III и IV координатных четвертях.

Вычислите длину каждой дуги.

Ответ. длина каждой дуги равна  части окружности или 

Длина полуокружности равна  А так как образовался развернутый угол, то 180.

Рассмотрим дугу, равную по длине радиусу единичной окружности. Полученный центральный угол РОМ равен длине дуги МР=R.

рис.3

Определение. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

Обозначается 1рад.

;

 α рад=(180/π α)° (1)

Длину дуги l окружности радиуса R (рис.4)

можно вычислять по формуле(3)

А площадь S кругового сектора радиуса R и дугой  рад (рис.5)

находят по формуле: , где (4)

Вернёмся к единичной окружности в координатной плоскости.

Каждая точка этой окружности будет иметь координаты х и у такие, что выполняются неравенства -1≤ х ≤ 1; -1≤ у ≤ 1.

Введём понятие поворота точки. (рис.2)

1. Пусть  Тогда точка А(1;0) будет двигаться по единичной окружности против часовой стрелки. Она пройдёт путь α рад от точки А(1;0) до точки В. Говорят, точка В получена из точки А поворотом на угол 
2. Пусть  точка А(1;0) будет двигаться по единичной окружности по часовой стрелки . Она пройдёт путь α рад от точки А(1;0)до точки С. Говорят, точка С получена из точки А поворотом на угол - α.

При повороте на 0 рад точка остаётся на месте.

Давайте рассмотрим такой пример:

при повороте точки М(1;0) на угол  получается точка N (0;1). В эту же точку можно попасть из точки М(1;0) при повороте на

угол  (рис.6)

(рис.6)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найти градусную меру угла, равного  рад.

Решение: Используя формулу (1),

находим .

Так как , то  рад, тогда  (2)

Ответ: .

Пример 2. Найти радианную меру угла, равного 60.

Решение:

Вычисляем по формуле (2):  рад

 рад

При обозначении мер угла, наименование «рад» опускают.

Ответ:  рад,  рад.

Пример 3. Найти длину дуги окружности радиуса 6 см, если её радианная мера .

Решение: Используя формулу (3),

получим: 

Ответ: .

Пример 4. Найти площадь сектора, если радиус окружности 10 м, а радианная мера центрального угла .

Решение:

По формуле (4) вычисляем 

Ответ: 45  м2

Пример 5. Найти координаты точки М, полученной из точки N(1;0) поворотом на угол, равный .

Решение: Абсцисса точки М равна отрезку ОК, ордината отрезку ОТ=МК. Так как то

прямоугольный равнобедренный треугольник ОМК имеет равные катеты и гипотенузу ОМ=R=1. По теореме Пифагора можно найти длины катетов. Они равны Учитывая, что точка М находится в I координатной четверти, её координаты положительны. 

На окружности можно найти координаты любой точки.

Ответ: 

Тренировочные задания

1. Угол, выраженный в градусах, выразите в радианах.

1. 5π/6

2. π/3

3. π/6

4. π/2

2. Найдите координаты точки, полученной поворотом точки А(1; 0) на угол α = π/2 + 3π.

1.  (0; -1)
2. (1; 0)
3. (-1; 0)

3. Используя формулы длины дуги окружности и площади сектора, заполните таблицу.

125, 10, 1, 2

4. Найдите градусные меры углов в правильном треугольнике, в квадрате и в правильном шестиугольнике:

Подсказка

Вспомните сумму всех внутренних углов правильных многоугольников.

5. Найдите радианную меру центрального угла сектора, если длина соответствующей дуги равна диаметру окружности.

Подсказка

По условию l=d=2r; По формуле l=αr.

6. Найдите координаты точки, полученной поворотом точки А(1; 0) на угол α=−π/2+5π. Подчеркните правильный вариант/варианты.

Подсказка

  Нарисуйте единичную окружность, отметьте точку А и сделайте поворот точки, учитывая, что полный круг соответствует 2π.

1.  (0; 1)
2. (1; 0)
3. (-1; 0)

7. Углы треугольника А, В, С относятся как 6:2:1. Найдите радианные меры этих углов.

Подсказка

Вспомните, чему равна сумма углов треугольника, найдите градусные меры углов треугольника АВС, затем переведите эти значения в радианы.

8. Найдите координаты точки, полученной поворотом точки А(1; 0) на угол:

Подсказка

Нарисуйте единичную окружность, отметьте точку А и сделайте поворот точки, учитывая, что полный круг соответствует 2π. В дробях выделите целую часть.

α=5π/2 

α=3π/2 

α=3π 

9. Выразите в радианах угол, смежный с углом 36∘, полученный ответ разделите на π.

Подсказка

Вспомните, как находится смежный угол, найдите его в градусах и переведите в радианную меру.

10. Угол, выраженный в радианах, выразите в градусах.

1. 810∘
2. 45∘
3. 720∘
4. 120∘

Подсказка

Используйте формулу: αрад=(180α/π)∘.

1. 9π/2
2. π/4
3. 4π
4. 2π/3

11. Соотнесите фигуру и её угол, выраженный в радианах:

1) π/3

2) π/2

3) 2π/3

1. правильный шестиугольник

2. квадрат

3. правильный треугольник

12. Найдите координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки М(1; 0) на угол:

1) 180∘

2) π/4

3) 3π/2

А) (0;−1)

Б) (−√22;−√22)

В) (−1;0)

Подсказка

Переведите все углы в градусную меру, нарисуйте единичную окружность и отметьте положение точки, полученной поворотом на заданный угол.

13. Длина дуги сектора вдвое меньше его периметра. Найдите радианную меру его центрального угла.

Подсказка

Периметр сектора равен r+r+αr, по условию он вдвое больше длины дуги, равной αr получаем: r+r+αr=2αr.

14. Даны точки с координатами:

1. (0;1)
2. (−1;0)
3. (0;−1)

Выберите из них точку, полученную поворотом точки А(1; 0) на угол:

Подсказка

Нарисуйте единичную окружность, отметьте точку А(1; 0). Учитывая, что полный круг соответствует 360 градусом, выполните поворот точки А на заданное количество градусов.

1. α=450∘

2. α=540∘

3. α=270∘