Урок по теме: «Производная и её применение» 10 класс
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

Урок по теме:

«Производная и её применение»

10 класс

 (социально-экономический профиль)

учебник «Алгебра и начала математического анализа»

профильный уровень 10 класс А.Г. Мордкович, П.В. Семенов

Цель:  

         Обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Производная

       и ее применение»

Задачи:

1. образовательные:

           - обобщение и систематизация знаний, умений и навыков  

             учащихся по теме «Производная и ее применения»;

           - проверка умений реализовывать полученные знания при решении

             заданий Единого государственного экзамена;

           - осуществление контроля знаний; 

2. развивающие:

      развитие познавательного интереса и интеллектуальных способностей учащихся;

3. воспитательные:

         -  повышение учебной мотивации учащихся;

         -  формирование организованности, ответственности, честности.

Знания, умения, навыки: 

Закрепление знаний по теме «Производная и ее применения»:

- повторение понятия производной, ее геометрического смысла;

- построение эскиза графика функции;

- нахождение точек экстремума функции, ее наибольшего и наименьшего значения.

Применение имеющихся знаний в новых условиях.

 Оборудование и материалы:

Компьютер, мультимедиа проектор, экран, сборники для подготовки к ЕГЭ, лист самооценки.

Ход урока

I. Организационный этап

Слайд 1: Тема урока

       Здравствуйте, ребята! Сегодня у нас необычный урок. Необычность его заключается в том, что у нас в гостях учителя других школ. И в то же время – это обычный урок, т.к. мы повторяем ранее изученный материал и в частности сегодня мы будем систематизировать свои знания по теме: «Производная и её применение», чтобы легко уметь применять их при решении задач ЕГЭ. Вследствие этого целью нашего урока будет осмыслить свои возможности, закрепить на практике и оценить их, что несомненно поможет вам при сдаче предстоящего экзамена.

       В течение всего урока вы сможете выставить себе балл за каждый вид работы с помощью листа самооценки (см. Приложение №1), который имеется у каждого на парте и подвести итог, а в конце урока у нескольких учеников будут собраны тетради. Будьте аккуратны и сосредоточены.

II. Актуализация субъектного опыта

Итак, откройте тетради, записываем число и тему урока.

Как строятся знания? Есть база, её осмысление и применение.

Вы уже накопили опыт нахождения производной. И сегодня мы посмотрим, чему же вы научились. Повторим теоретический материал.

У доски 2 ученика.

 1 ученик на доске выписывает известные  правила нахождения производной.

(х + y)' = x' + y'

(х - y)' = x' - y'

(х * y)' = x' y + x y'

x          x' y - x y'

__   =  ________

y               y2

 2 ученик устанавливает соответствие между функцией и её производной.

  В это время класс отвечает на вопросы учителя:

а) что такое производная?

б) какие смыслы производной существуют?

в) что такое производная с механической точки зрения?

е) что значит продифференцировать?

ж) какая функция называется дифференцируемой в точке?

з) что такое критические точки?

Давайте остановимся на геометрическом смысле производной.

Запишите формулу и сформулируйте.

( 1 ученик записывает формулу на доске

f (х0)=tgα=k

 и говорит формулировку:

Если к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х0 можно провести касательную, непараллельную оси y, то f' (х0) выражает угловой коэффициент касательной.)

Работаем в тетрадях.  На доске рисунок:

Подпишите на рисунке все необходимые элементы и поясните.

(1 ученик записывает на рисунке все необходимые элементы и поясняет)

Мы повторили геометрический смысл производной.

Давайте опустимся в 7 класс, т.е. повторим некоторые знания, связанные с уравнением прямой y=kx+b

На доске рисунок:

(1 ученик записывает на доске)

Вопросы: 1. Условие параллельности прямых (k1=k2)

                  2. Уравнение оси ОХ (у=0)

                  3. Уравнение прямой, параллельной оси ОХ (у=b)

                  4. Значение k у прямой, параллельной оси ОХ (k=0)

А теперь соедините знания 7 класса и 10 класса и продолжите:

Если касательная параллельна оси ОХ или любой прямой, параллельной оси ОХ, то .…

(f ' (x) = k = 0)

Сейчас мы составили с вами математическую модель.

Оцените себя за теоретический материал.

III. Решение заданий типа В8

Теперь обратимся к заданиям В8 из ЕГЭ и ваша цель пронаблюдать, понять и запомнить – как эта модель работает на практике.

Слайд 2:

Найти значение производной в точке х0.

(1 ученик у доски показывает указкой на рисунке и рассказывает алгоритм решения.)

Ответ: 1,4

А теперь проверьте свои знания в индивидуальной работе.

Перед вами сборники для подготовки к ЕГЭ, автор Ф.Ф. Лысенко.

I вариант – Вариант 5, с. 83, В8     (ответ:  1)      (Задания дублируются на слайде 3)

II вариант – Вариант 6, с. 86, В8    (ответ: -0,5)

Выполняем задание в тетради, кто справился – поднимаем руку.

Оцените себя за это задание.

А теперь, давайте рассмотрим обратную задачу.

Слайд 4:

Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна прямой у=1 или совпадает с ней.

Обратите внимание, что на рисунке изображён график производной, а не график функции, как в предыдущих заданиях.

(1 ученик отвечает у доски). Ответ: 5

А сейчас проверяем, как вы в индивидуальной работе примените свои знания в немного изменённой ситуации.

Открываем сборники Лысенко.

I вариант – Вариант 9, с. 96, В8     (ответ: -1)    (Задания дублируются на слайде 5)

II вариант – Вариант 10, с. 99, В8    (ответ: 2)

(Во время работы учитель подходит к нескольким учащимся и спрашивает алгоритм работы.)

Сверим ответы.

Оцените себя за эту работу.

IV. Физминутка

 А сейчас давайте дадим нашим глазам отдых, быстро проведём гимнастику для глаз.

1 ученик проводит гимнастику для глаз:

1. Плотно закрывать и широко открывать глаза 3 раза
2. Посмотреть вверх, вниз, вправо, влево, не поворачивая головы
3. Вращать глазами по кругу: вниз, вправо, вверх, влево и в обратную сторону
4. Быстро моргать

V. Решение заданий типа В 14

Скажите, а где применяется производная?

- исследование функции на монотонность

- отыскание точек экстремума

- для доказательств тождеств и неравенств

- нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на  

  промежутке

- задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значений величин.

Обращаясь к словам А.Н. Крылова:

 Слайд 6:  «Теория без практики мертва или бесплодна, а практика без теории невозможна или пагубна. Для теории нужны знания, а для практики умения».

Я предлагаю повторить некоторые теоретические факты через практическую задачу.

Слайд 7

Задача: Построить эскиз графика функции по следующим данным:

1. D(y) = [0 ; 9]
2. Нули функции: х1 = 0; х2 = 4; х3 = 8
3. хmax = 1      ymax = 5

          хmin = 7       ymin = - 2

     4)   унаим = - 2     при х = 7

     5)   унаиб = 8        при х = 9

В тетрадях прошу построить эскиз графика, и кто справится первым – к доске.

(Затем задаются вопросы)

1. Что такое хmax   и        хmin ?

2. Что такое ymax   и    ymin ?

3. Что такое унаим и   унаиб ?

4. Расскажите алгоритм отыскания точек экстремума с помощью

    производной

5. Расскажите алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений

   непрерывной функции на промежутке

  Оцените себя за построение эскиза графика и знание теоретического материала по этому разделу.  

 А теперь применим эти алгоритмы к задачам ЕГЭ.

(у доски 2 ученика, остальные – в тетрадях)

I вариант – сборник 500 заданий, с. 76, В11-3        (ответ: 1)              

II вариант – сборник 500 заданий, с. 77, В11-8      (ответ: 3)

(Задания дублируются на слайде 8)

Если вы замечаете расхождения своего решения и решения на доске – исправляем ошибки. Сверьте результаты и оцените себя за эту работу в листе самооценки.

VI. Самостоятельная работа

        А сейчас я предлагаю вам написать небольшую самостоятельную работу, по результатам которой будет ясно, насколько успешно вы справитесь с заданиями В8 и В11 на предстоящем переводном экзамене в форме ЕГЭ.

(см. Приложение №2)

 VII. Итог урока

 Учитель: Итак, что же мы с вами ребята, сделали на уроке?

Учащиеся:

1. Вспомнили геометрический и физический смысл производной.
2. Обсудили вопросы, связанные с исследованием графика производной и самой функции.
3. При выполнении практических заданий ещё раз отметили значимость производной.

VII. Информация о домашнем задании

На боковой доске записаны 2 задания на дом. Перепишите их в свою тетрадь. Обратите внимание, что эти задания более высокого уровня сложности, и мы их называем? (задания с параметрами).

На следующем уроке обязательно проверим д/з, и если возникнут проблемы, рассмотрим их подробнее.

1. При каких значениях параметра а функция у = - х3 + ах2 - 3х + 16 убывает на всей числовой прямой?
2. При каком значении параметра р минимум функции

      у = 1/3 х3 - х2 - 3х + р  равен -3?

VIII. Этап рефлексии                 

Как вы считаете, кто из вас работал в полную силу своих возможностей, чувствовал себя уверенно?
А кто из вас работал хорошо, но не полную силу, испытывал чувство неуверенности, боязни, что отвечу неправильно?
А у кого из вас не было желания работать, то есть сегодня не ваш день?

Слайд 9: Лестница

Посмотрите на экран и поставьте себя на ступеньку, на которой вы себя ощущаете на конец урока. Впишите в лист самооценки своё настроение.

Я хочу вам пожелать, чтобы знания ваши только возрастали. Спасибо за урок.

Прошу сдать листы самооценки и ….. сдать тетради на проверку.

Приложение № 1

Лист самооценки

Приложение № 2