Работа на НОУ
творческая работа учащихся по математике (10, 11 класс) на тему

Приложение 2

МБОУ  «Усть – Кумирская средняя общеобразовательная школа»

                                     СИММЕТРИЯ И АСИММЕТРИЯ

                                      (секция математики и физики)

                                                            Выполнила:Федорова  Дарья

                                                            Алексеевна

                                                            обучающаяся 11 класса

                                                            Руководитель:Силина Людмила

                                                            Петровна, учитель математики

                                              с. Усть - Кумир

                                                   2015 год

СИММЕТРИЯ И АСИММЕТРИЯ

Оглавление

     Введение

1. Симметрия
2. Асимметрия
3. Диссиметрия
4. Симметрия в природе
5. Симметрия в неживой природе
6. Симметрия в искусстве, архитектуре, музыке, литературе.

Заключение

Список использованных источников

Введение

     Симметрия… является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.     /  Г. Вейль  /

     Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека, и употреблялось скульпторами ещё в V веке до н э.

     Человек, уже на заре цивилизации, имея представление о симметрии, по ее законам строил свои сооружения,  изготовлял  предметы  быта, и все  это определялось не только практическими требованиями, но в какой-то мере и эстетическими. Мощные, торжественные египетские храмы, светлые по образу древние греческие строения, знаменитые римские форумы и триумфальные арки - все эти сооружения симметричны. В прикладном искусстве это различные вазы, чайные и кофейные сервизы, многие украшения. Многочисленные примеры строгой симметрии можно найти в расположении средств и элементов художественно-политического оформления, Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что симметрия прекрасна. Исходя из соображений симметрии, они высказали ряд догадок. Так, Пифагор (V век до н. э.), считая сферу наиболее симметричной и совершенной формой, делал вывод о сферичности Земли и о ее движении по сфере. Идея симметрии часто являлась отправным пунктом в гипотезах и теориях ученых прошлых веков, веривших в математическую гармонию мироздания и видевших в этой гармонии проявление божественного начала.

     Для древнерусской архитектуры, например, не характерна канонизация симметрии, и многочисленные отступления словно призваны связать форму храма с природой. Натолкнув человека на мысль об использовании симметрии для организации предметных форм, природа подсказала ему и возможность отступления от строгого закона. Ведь в формах самой природы постоянно встречаются подобные отступления: одна клешня краба или рака заметно больше другой, «рисунок» зебры не повторяется на двух половинах ее тела и т. д. Известный математик Генрих Вейль глубоко исследовал симметрию как математическую закономерность. «Симметрия — в широком или узком смысле в зависимости от того, как вы определите значение этого понятия,— является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство».

     С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Отметим, например, симметрию, свойственную бабочке и кленовому листу, симметрию автомобиля и самолета, симметрию в ритмическом построении стихотворения и музыкальной фразы, симметрию орнаментов и бордюров, симметрию атомной структуры молекул и кристаллов.

Цель:

формирование научного мышления через исследовательскую работу по теме.

Задачи:

-  рассмотреть виды и типы симметрий;

-  выяснить какую роль играет и как используется симметрия в окружающем нас мире;

-  Прочитать соответствующую литературу;

-  Узнать, как понимали симметрию древнейшие учёные;

1. Симметрия.

     Слово «симметрия» греческое. Оно означает «соразмерность», «пропорциональность», одинаковость в расположении частей. Его широко используют все без исключения направления современной науки.

     Известный математик Генрих Вейль глубоко исследовал симметрию как математическую закономерность. «Симметрия — в широком или узком смысле в зависимости от того, как вы определите значение этого понятия,— является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство».

     Действительно, симметричность приятна глазу. Кто не любовался симметричностью творений природы? Листьями, цветами, птицами, животными.  Или творениями человека: зданиями, техникой, - всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии.

     Понятие симметрия не ограничивается симметрией объектов. Оно распространяется также на физические явления и управляющие ими физические законы. Именно симметрия позволяет нам охватить самые разнообразные тела с единых позиций. Слово «симметрия» в переводе с греческого означает «соразмерность»

     Симметрия – это понятие, отражающее существующий в природе порядок, пропорциональность и соразмерность между элементами какой-либо системы или объекта природы, упорядоченность, равновесие системы, устойчивость, то есть некий элемент гармонии.

     Таким образом, симметрия выражает сохранение чего-то при каких-то изменениях или сохранение чего-то несмотря на изменение. Симметрия предполагает неизменность не только самого объекта, но и каких-либо его свойств по отношению к преобразованиям, выполненным над объектом.

2. Асимметрия.

     Асимметрия — отсутствие или нарушение симметрии.

     Асимметрия – понятие, противоположное симметрии, отражающее разупорядочение системы, нарушение равновесия, что связано с изменением и развитием системы.

     С точки зрения математических понятий асимметрия — лишь отсутствие симметрии. Однако обширная категория приемов композиции отнюдь не покрывается этим негативным определением. В архитектуре — симметрия и асимметрия - два противоположных метода закономерной организации пространственной формы. Подчиненная собственным внутренним законам, асимметрия отнюдь не исчерпывается разрушением симметрии. Единство является целью построения асимметричной системы так же, как и симметричной, однако достигается оно иным путем. Тождество частей и их расположения заменяется зрительным равновесием.

     Асимметричная композиция может складываться из симметричных частей, связи между которыми не подчиняются закономерностям симметрии. Такой характер имеют и многие природные формы — симметрии подчинены части, целое асимметрично (пример — листья и дерево в целом).

Из определений симметрии и асимметрии следует, что развивающаяся динамическая система должна быть обязательно несимметричной и неравновесной.

     Эрехтейон на Акрополе в Афинах относятся к числу наиболее гармоничных зданий с асимметричной композицией. Особенности его объемно-пространственного построения были вызваны и сложностью назначения — храм посвящен сразу двум божествам — Афине и Посейдону, и необходимостью поставить сооружение на точно определенном месте со сложным рельефом.

3. Диссимметрия

     Абсолютная симметрия в крупных и сложных сооружениях, строго говоря, невозможна. Сложность функциональных систем вызывает частичные отклонения от основной, определяющей характер композиции симметричной схемы. Нарушенную, частично  расстроенную симметрию мы называем диссимметрией.

     Диссимметрия — явление, широко распространенное в живой природе. Она характерна и для человека. Человек диссимметричен, несмотря на то, что очертания его тела имеют плоскость симметрии. Диссимметрия  сказывается в лучшем владении одной из рук, в несимметричном расположении сердца и многих других органов, в строении этих органов.

          Уничтожение даже мелкой детали в симметричной композиции немедленно нарушает равновесие и порождает напряжение во всей системе. Любое отклонение становится привлекающим внимание и беспокоящим акцентом. Такое воздействие нарушенной симметрии может быть использовано как художественное средство.

     Размещение восьмигранной часовни в одном из углов здания сломало строгую симметричность дворца Карла V в Гранаде, одного из первых сооружений архитектуры Возрождения в Испании (1526, арх. П. Мачука). Рассудочная холодность композиции преодолена этой «вольностью».

     Свободное расположение деталей в пределах симметричной схемы обычно для русского народного зодчества и придает особенную привлекательность и индивидуальность его произведениям.

     Частично нарушенная симметрия, отвечающая сложности жизненных процессов и в то же время служащая художественным средством выражения этой сложности, часто встречается и в современной зарубежной архитектуре. Она стала излюбленным приемом таких известных американских архитекторов, как Л. Кан и П. Рудольф. В их работах увлечение «отклонениями» заходит, однако, столь далеко, что симметрия, лежащая в основе, подчас трудно уловима. Равенство частей, лежащих по сторонам плоскости симметрии, заменяется подобием их общих очертаний.

4. Симметрия в природе

    Природа проектирует любой живой организм согласно определенной геометрической схеме, причем законы мироздания имеют четкое обоснование.

     Когда мы хотим нарисовать лист растения или бабочку, то нам приходится учитывать их осевую симметрию. Средняя жилка для листа и туловище для бабочки служит осью симметрии. Центральная симметрия характерна для кристаллов, низших животных и цветов.

     В своей книге «Этот правый, левый мир» М. Гарднер пишет: «На Земле жизнь зародилась в сферических симметричных формах, а потом стала развиваться по двум главным линиям: образовался мир растений, обладающих симметрией конуса, и мир животных с билатеральной симметрией».

     Термин «билатеральная симметрия» часто применяется в биологии. При этом имеется в виду зеркальная симметрия.

     Ярко выраженной симметрией обладают листья, ветви, цветы, плоды.

     Зеркальная симметрия характерна для листьев, но встречается и у цветов. Для цветов характерна поворотная симметрия.

     Часто поворотная симметрия сочетается с  зеркальной или переносной. В многообразном мире цветов встречаются поворотные оси разных порядков. Однако наиболее распространена поворотная симметрия. Эта симметрия встречается у многих полевых цветов.(колокольчик, незабудка, герань, гвоздика, зверобой и лапчатка), у цветов плодовых деревьев (вишня, яблоня, груша, мандарин и др.), у цветов плодово-ягодных растений (земляника, малина, калина, черемуха, рябина, шиповник, боярышник) и др.

     В природе существуют тела, обладающие винтовой симметрией, т. е совмещением со своим первоначальным положением после поворота на угол φ вокруг оси, дополнительным сдвигом вдоль той же оси.

     Винтовая симметрия наблюдается в расположении листьев на стеблях большинства растений. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются во все стороны и не заслоняют друг друга от света, крайне необходимого для жизни растений. В устройстве соцветия подсолнечника или чешуи еловой шишки, в которой чешуйки располагаются в виде спиралей и винтовых линий. Такое расположение особенно четко видно у ананаса, имеющего более или менее шестиугольные ячейки, которые образуют ряды, идущие в различных направлениях. Симметрии в мире насекомых, рыб, птиц, животных

     Поворотная симметрия встречается и в животном мире. Примерами могут служить морская звезда и панцирь морского ежа.

     Однако в отличие от мира растений поворотная симметрия в животном мире наблюдается редко.

     Билатеральная (зеркальная) симметрия — характерная симметрия всех представителей животного мира.

     Эта симметрия хорошо видна у бабочки. Симметрия левого и правого крыла проявляются здесь с почти математической строгостью.

     Отметим билатеральную симметрию человеческого тела (речь идет о внешнем облике и строении скелета). Эта симметрия всегда являлась и является основным источником нашего эстетического восхищения хорошо сложенным человеческим телом.

5. Симметрия в неживой природе

     Еще более ярко и систематически симметричность структуры материи обнаруживается в неживой природе, именно в кристаллах.

«Кристаллы блещут симметрией», — писал Е. С. Федоров в своем «Курсе кристаллографии».

     При слове «кристалл» в воображении рисуется среди драгоценных камней — алмаз: кристальная чистота и прозрачность, чудесная, непередаваемая игра света, идеальная правильная форма. Но теперь алмазы уже не только красивый предмет роскоши. Сегодня они служат для обработки наиболее твердых металлов и сплавов.

     Без них не мыслится современная металлообрабатывающая промышленность.

Оказывается, кристаллы не только алмазы. Обычный сахар и поваренная соль, лед и песок состоят из множества кристалликов.

     Больше того, основная масса горных пород, образующих земную кору, состоит из кристаллов. Даже обыкновенная глина представляет собой нагромождение мельчайших кристалликов.

     Словом, большинство строительных материалов — металлы, камень, песок, глина — кристаллические вещества. Можно сказать, что мы живем в домах, построенных из кристаллов. Не удивительно, что кристаллы являются предметом тщательного изучения.

     Кристаллы — это твердые тела, имеющие естественную форму многогранников.

     Для каждого данного вещества существует своя, присущая только ему одному, идеальная форма его кристалла.

     Эта форма обладает свойством симметрии, т. е. свойством кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путем поворотов, отражений, параллельных переносов.

     Кристалл каждого вещества характеризуется определенным комплексом элементов симметрии — видом (классом) симметрии.

     Многие, если не все, кристаллы более или менее легко раскалываются по некоторым строго определенным плоскостям. Это явление, называемое спайностью, свидетельствует о том, что механические свойства кристаллов анизотропны, т. е не одинаковы по разным направлениям. Но кристаллы анизотропны и в отношении многих других физических свойств. Свет, например, в определенных кристаллах распространяется по различным направлениям с различной скоростью. При нагревании кристалл расширяется по различным направлениям различно. Это же можно сказать о теплопроводности, электропроводности и т.д.

     Каждая снежинка — это маленький кристалл замерзшей воды.  Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией — поворотной и зеркальной симметрией.

6. Симметрия в искусстве, архитектуре, музыке, литературе.

     Человеческое творчество во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. На этот счет хорошо высказался известный французский архитектор Ле Корбюзье, в своей книге «Архитектура XX века» он писал: «Человеку необходим порядок: без него все его действия теряют согласованность, логическую взаимосвязь. Чем совершеннее порядок, тем спокойнее и увереннее чувствует себя человек. Он делает умозрительные построения, основываясь на порядок, который продиктован ему потребностями его психики, - это творческий процесс. Творчество есть акт упорядочения».

     Нагляднее всего видна симметрия в архитектуре. Особенно блистательно использовали симметрию в архитектурных сооружениях древние зодчие. Причем древнегреческие архитекторы были убеждены, что в своих произведениях они руководствуются законами, которые управляют природой. В сознании древних греков симметрия стала олицетворением закономерности, целесообразности, красоты.

     Не говоря уже об архитектуре и скульптуре, симметрия господствует в изобразительном искусстве Древнего Египта, Древней Греции и Рима, Средневековья и Возрождения.

     Большое внимание правилу симметрии уделяли художники раннего Возрождения, о чем свидетельствует монументальная живопись (например, фрески Джотто). В эпоху Высокого Возрождения итальянская композиция достигла зрелости. Например, в картине «Святая Анна с Марией и младенцем Христом» Леонардо да Винчи компонует три фигуры в заостренный кверху треугольник. В правом нижнем углу он дает фигурку агнца, которого держит маленький Христос. Все скомпоновано таким образом, что этот треугольник только угадывается под объемно-пространственной группой фигур.

     Симметричной композицией можно назвать и «Тайную вечерю» Леонардо да Винчи. В этой фреске показан драматический момент, когда Христос сообщил своим ученикам: «Один из вас предаст меня». Психологическая реакция апостолов на эти вещие слова связывает персонажей с композиционным центром, в котором находится фигура Христа. Впечатление целостности от этой центростремительной композиции усиливается еще и тем, что художник показал помещение трапезной в перспективе с точкой схода параллельных линий в середине окна, на фоне которого четко рисуется голова Христа. Таким образом, взор зрителя невольно направляется к центральной фигуре картины.

     Картина В. М. Васнецова «Богатыри» также построена на основе правила симметрии. Центром композиции является фигура Ильи Муромца. Слева и справа, как бы в зеркальном отражении,  размещены Алеша Попович и Добрыня Никитич. Фигуры расположены вдоль картинной плоскости спокойно сидящими на конях. Симметричное построение композиции передает состояние относительного покоя. Левая и правая фигуры по массам неодинаковы, что обусловлено идейным замыслом автора. Но обе они менее мощные по сравнению с фигурой Муромца и в целом придают полное равновесие композиции.

    Устойчивость композиции вызывает у зрителя чувство уверенности в непобедимости богатырей, защитников земли русской. Мало того, в «Богатырях» передано состояние напряженного покоя на грани перехода в действие. А это значит, что и симметрия несет в себе зародыш динамического движения во времени и пространстве.

     Симметрия часто используется и в других видах искусства. В том числе в музыке.

     Музыка является одним из видов искусств. А искусство есть способ отражения действительности (жизни) в художественных образах. Музыка отражает различные человеческие чувства, эмоциональные состояния и переживания.        Среди искусств музыка - самое абстрактное, самое опосредованное в смысле выражения и в то же время самое выразительное по силе воздействия.

     Ряд музыкальных форм строится симметрично. Музыкальная тема многократно повторяется, чередуясь эпизодами различного содержания. Главная тема проводится не менее трех раз в основной тональности, а эпизоды - в других тональностях. Композитор в своем произведении может по несколько раз возвращаться к одной и той же теме, постепенно разрабатывая ее.

     Примером данной формы является «Рондо-каприччио» (фортепиано) Бетховена.

     В литературных произведениях существует симметрия образов, положений, мышления. Вспомним хотя бы закон возмездия в греческой трагедии, где виновный становится жертвой такого же преступления.

     В «Евгении Онегине» А. С. Пушкина мы наблюдаем симметрию положений: «Онегин, отвергнувший когда-то любовь Татьяны, сам через несколько лет вынужден испытывать горечь отвергнутой любви».

     В трагедии А. С. Пушкина «Борис Годунов» прекрасно выписана симметрия образов. Убийцу царственного наследника, занявшего престол, сменяет на троне такой же умный, такой же наглый и беспощадный убийца юноши-царевича.

     Буквы русского языка тоже можно рассмотреть с точки зрения симметрии.

  -  Вертикальная ось симметрии: А; Д; Л; М; П; Т; Ф; Ш.

  -  Горизонтальная ось симметрии: В; Е; 3; К; С; Э; Ю.

  -  Вертикальные и горизонтальные оси симметрии: Ж; Н; О; X.

  -  Ни вертикальные, ни горизонтальные оси: Б; Г; И; Й; Р; У; Ц; Ч; Щ; Я.

      В русском языке есть «симметричные» слова - палиндромы, которые можно читать одинаково в двух направлениях: шалаш, казак, радар, Алла, Анна, кок, поп.

Заключение.

     Сведение красоты только к симметрии ограничивало богатство ее внутреннего содержания, лишало красоту жизни. Истинную красоту можно постичь только в единстве противоположностей. Вот почему единство симметрии и асимметрии определяет внутреннее содержание прекрасного в искусстве. Симметрия воспринимается нами как покой, скованность, закономерность, тогда как асимметрия означает движение, свободу, случайность.

     Примером удивительного сочетания симметрии и асимметрии является Покровский собор (храм Василия Блаженного) на Красной площади в Москве. Эта причудливая композиция из десяти храмов, каждый из которых обладает центральной симметрией, в целом не имеет ни зеркальной, ни поворотной симметрии. Симметричные архитектурные детали собора «кружатся» в своем асимметричном «танце», создавая впечатление радости и праздника.

     Асимметрия широко используется в некоторых восточных культурах, например в японской. Такая, подчеркнуто асимметричная структура свойственна, в частности, канону дзенского сада камней. Аналогичный принцип относится у японцев и к построению изображения на картине, которое должно быть сдвинуто к краю и занимать сравнительно небольшую площадь, уравновешиваясь более значительным свободным полем, символизирующем беспредельность мира.

     В «Фаусте» Гете противопоставляет в образах Прекрасной Елены и одноглазой, однозубой старухи Форкиды красоту симметрии и уродство асимметрии.

     В  «Сказке о царе Салтане» Пушкин рисует величавую Царевну-Лебедь со звездой во лбу (красота - симметрия) и окривевших злодеек - ткачиху с поварихой (уродство - асимметрия).

     В «Войне и мире» Льва Толстого мы читаем: «Это был огромный, в два обхвата дуб, с обломанными, давно видно, суками и с обломанной корой, заросшей старыми болячками. С огромными своими неуклюже, несимметрично растопыренными корявыми руками и пальцами, он старым, сердитым и презрительным уродом стоял между улыбающимися березами».

     Если симметрия порождает чувство покоя и скованности, то асимметрия вызывает ощущение движения, свободы.

     Асимметрия и симметрия имеют в формах природы различную силу звучания,

помогают достигать художественной выразительности статичных и динамичных композиций.

          Симметрия и асимметрия при правильном их использовании в композиции могут стать важнейшим средством решения объемно-пространственных задач и задач гармонизации форм.

Список использованных источников

 1.Г. Вейль Симметрия, М., 2007    

2.Энциклопедия для детей Математика, 2001г

3.Шубников А. В., Симметрия. (Законы симметрии и их применение в науке, технике и прикладном искусстве), М. — Л., 1978

4.Кокстер Г. С., Введение в геометрию, М., 1966

6.Л. В. Тарасов. Этот удивительно симметричный мир. Москва. 7.Просвещение, 1982.

7. Математика и искусство” А. В. Волошинов, Москва, “Просвещение”, 2000.

8. Эстетика урока математики. Пособие для учителей. И.Г.Зенкевич. Москва    

          “Просвещение”, 1981.

9. http://www.uchportal.ru/ioad/150-1-0-7984

10. http://matemkonst.narod.ru/p9aa1.html

11. http://www.rusedu.ru/detail_8012.html