Начальные геометрические сведения
презентация к уроку по геометрии (7 класс) по теме

Слайд 1

Введение Геометрия – наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение фигур. Слово геометрия – греческое, оно означает “землемерие” ( гео – земля, метрео – измеряю). Геометрия состоит из двух разделов: планиметрии и стереометрии. Планиметрия – средневековый термин, первая часть которого – " плани " – происходит от латинского слова "плоскость", а вторая –" метрия " – от греческого "мерить", т.е. буквально планиметрия означает «плоскомерие». В планиметрии изучаются плоские фигуры, т.е. расположенные в одной плоскости. С тереометрия – греческое слово, составленное из « стерео » – тело и « метрео » – измеряю. Таким образом, стереометрия – это «теломерие». В стереометрии изучаются неплоские фигуры, т.е. не лежащие в одной плоскости. Чаще их называют пространственными.

Слайд 2

Школа Пифагора Одной из самых первых и самых известных школ была пифагорейская ( VI - V вв. до н.э.), названная так в честь своего основателя Пифагора. Объяснение устройства мира пифагорейцы тесно связывали с геометрией. Так, выделяя первоосновы бытия, они приписывали их атомам форму правильных многогранников, а именно: атомам огня - форму тетраэдра (рис. 1 ), земли – гексаэдра (куба, рис. 2), воздуха – октаэдра (рис. 3 ), воды – икосаэдра (рис. 4 ). Всей Вселенной приписывалась форма додекаэдра (рис. 5 ). В названиях этих многогранников указывается число граней (от греч. эдра – грань): тетра - четыре, гекса - шесть, окто - восемь, икоси - двадцать, додека - двенадцать.

Слайд 3

Евклид Евклид – древнегреческий ученый , живший около 300 г. до нашей эры. В его тринадцати книгах «Начала» впервые было представлено аксиоматическое по строение геометрии. На протяжении около двух тысячелетий этот труд остается основой изучения систематического курса геометрии . Ц арь Птолемей спросил у Евклида, нельзя ли найти более короткий и менее утомительный путь к изучению геометрии, чем его "Начала". Евклид на это ответил: "В геометрии нет царского пути".

Слайд 4

Вопрос 1 Как переводится греческое слово «геометрия»? Ответ: Землемерие.

Слайд 5

Вопрос 2 Что изучает геометрия? Ответ: Геометрия изучает формы, размеры и взаимное расположение фигур.

Слайд 6

Вопрос 3 Из каких двух основных разделов состоит геометрия? Ответ: Планиметрия и стереометрия.

Слайд 7

Вопрос 4 Что означает слово «планиметрия»? Ответ: «Плоскомерие».

Слайд 8

Вопрос 5 Что означает слово «стереометрия»? Ответ: «Теломерие».

Слайд 9

Вопрос 6 Где зародилась геометрия? Ответ: В Древней Греции.

Слайд 10

Вопрос 7 Когда существовала Древняя Греция? Ответ: VII в. до н. эры – III в. н. эры.

Слайд 11

Вопрос 8 Когда жил Пифагор? Ответ: 580 – 500 гг. до н. эры.

Слайд 12

Вопрос 9 Какая геометрическая фигура была отличительным знаком пифагорейцев? Ответ: Пентаграмма - правильный звездчатый, пятиугольник

Слайд 13

Вопрос 10 Какую форму, по мнению пифагорейцев, имели атомы: а) огня; б) земли; в) воздуха; г) воды? Ответ: а) Тетраэдра; б) куба; в) октаэдра; г) икосаэдра?

Слайд 14

Вопрос 11 Какую форму, по мнению пифагорейцев, имела вся Вселенная? Ответ: Додекаэдра.

Слайд 15

Вопрос 12 Как звали ученого, впервые давшего аксиоматическое построение геометрии? Ответ: Евклид.

Слайд 16

Вопрос 1 3 Когда жил Евклид ? Ответ: О коло 300 г. до нашей эры.

Слайд 17

Вопрос 14 Как назывались книги Евклида, в которых давалось аксиоматическое построение геометрии? Ответ: Начала .

Слайд 18

Упражнение 1 Сколько граней (Г) имеет: Ответ: Г = 4. Ответ: Г = 6. Ответ: Г = 8. Ответ: Г = 20. а) тетраэдр? б) куб? в) октаэдр? г) икосаэдр? д) додекаэдр? Ответ: Г = 12.

Слайд 19

Упражнение 2 Сколько вершин (В) имеет: Ответ: В = 8. Ответ: В = 6. Ответ: В = 12. Ответ: В = 20. Ответ: В = 4. а) тетраэдр? б) куб? в) октаэдр? г) икосаэдр? д) додекаэдр?

Слайд 20

Упражнение 3 Сколько ребер (Р) имеет: Ответ: Р = 12. Ответ: Р = 12. Ответ: Р = 30. Ответ: Р = 30. Ответ: Р = 6. а) тетраэдр? б) куб? в) октаэдр? г) икосаэдр? д) додекаэдр?

Слайд 1

Измерение длины отрезка Измерение длины отрезка основано на сравнении его с отрезком, длина которого принимается за единицу (единичный отрезок). Длина отрезка – это положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке. Длина отрезка удовлетворяет следующим свойствам. Свойство 1. Длины равных отрезков равны. Свойство 2. Длина суммы отрезков равна сумме их длин.

Слайд 2

Вопрос 1 Что такое длина отрезка? Ответ: Д лина отрезка – это положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Слайд 3

Вопрос 2 Каким свойствам удовлетворяет длина отрезка? Ответ: Длина отрезка удовлетворяет следующим свойствам. Свойство 1. Длины равных отрезков равны. Свойство 2. Длина суммы отрезков равна сумме их длин.

Слайд 4

Вопрос 3 Когда появился метр как единая единица измерения длин отрезков? Ответ: В конце XVIII века.

Слайд 5

Вопрос 4 Чему равен метр? Ответ: Одна сорокамиллионная часть парижского меридиана.

Слайд 6

Вопрос 5 Где хранится эталон метра из платины? Ответ: Во французском государственном архиве.

Слайд 7

Упражнение 1 Ответ: а) 2,6 ; Чему равна длина отрезка AB , если OE – единичный отрезок. б) .

Слайд 8

Упражнение 2 Чему равна длина отрезка: а) AB ; б) AC ; в) AD ; г) BC ; д) BD ; е) CD ? Ответ: а) 4 см ; б) 5,2 см ; в) 6,5 см ; г) 1,2 см ; д) 2,5 см ; е) 1,3 см.

Слайд 9

Упражнение 3 Могут ли точки А , В , С принадлежать одной прямой, если АВ = 2 см, ВС = 3 см, АС = 4 см? Ответ: Нет.

Слайд 10

Упражнение 4 Ответ: а) 6 см ; Точка С лежит на прямой между точками А и В . Найдите длину отрезка АВ , если: а) АС = 2,5 см, СВ = 3,5 см; б) АС = 3,1 дм, СВ = 4,6 дм; в) АС = 12,3 м, СВ = 5,8 м . б) 4,7 д м ; в) 18,1 м .

Слайд 11

Упражнение 5 Ответ: а) 9 м и 6 м; На отрезке АВ длиной 15 м отмечена точка С . Найдите длины отрезков АС и ВС , если: а) отрезок АС на 3 м длиннее отрезка ВС ; б) отрезок АС в два раза длиннее отрезка ВС ; в) длины отрезков АС и ВС относятся как 2:3. б) 10 м и 5 м ; в) 6 м и 9 м.

Слайд 12

Упражнение 6 Сумма двух отрезков равна 6 см, а их разность – 2 см. Найдите сами отрезки. Ответ: 4 см и 2 см.

Слайд 13

Упражнение 7 Ответ: 6 см. На рисунке АВ = CD , АС = 6 см. Найдите BD .

Слайд 14

Упражнение 8 Ответ: 8,5 см. На прямой последовательно отложены три отрезка: АВ , ВС и С D так, что АВ = 3 см, ВС = 5 см, CD = 4 см. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и CD .

Слайд 15

Упражнение 9 Ответ: a + b – c . Общей частью двух отрезков длины a и b является отрезок длины c . Найдите длину отрезка, покрываемого обоими данными отрезками.

Слайд 16

Упражнение 10 Ответ: 4 см, 8 см и 16 см. На прямой от одной точки в одном направлении отложены три отрезка, сумма которых равна 28 см; конец первого отрезка служит серединой второго, а конец второго - серединой третьего. Найдите длины этих отрезков.

Слайд 17

Упражнение 11 Ответ: В любом месте между вторым и третьим домами. Вдоль прямой улицы по одну сторону от нее стоят четыре дома. В каком месте улицы нужно установить газетный киоск, чтобы сумма расстояний от него до всех домов была наименьшей.

Слайд 1

Точки Точка является идеализацией очень маленьких объектов, т. е. таких, размерами которых можно пренебречь. Древнегреческий ученый Евклид, впервые давший научное изложение геометрии, в своей книге "Начала" определял точку как то, что не имеет частей. Точки изображаются остро отточенным карандашом или ручкой на листе бумаги, мелом на доске и т.п. Точки обозначаются прописными латинскими буквами A , B , C , ... , A 1 , B 2 , C 3 , ... , A ' , B '' , C ''' , ...

Слайд 2

Прямые и плоскость Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити, края стола прямоугольной формы. По прямой распространяется луч света. Прямые проводятся на листе бумаги или доске с помощью линейки. Хотя изображения прямых ограничены, их следует представлять себе неограниченно продолженными в обе стороны. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами a , b , c , ... , a 1 , b 2 , c 3 , ... , a' , b'' , c''' , ... , или двумя прописными латинскими буквами AB , CD , ... , A 1 B 1 , C 2 D 2 , ... , A'B' , C''D'' , ... П лоскость является идеализацией ровной поверхности воды, поверхности стола, доски, зеркала и т.п.

Слайд 3

Точки и прямые Две прямые называются пересекающимися , если они имеют одну общую точку. Две прямые называются параллельными , если они не имеют общих точек. В качестве аксиомы принимается следующее свойство прямых: Через любые две точки проходит единственная прямая Точка может принадлежать данной прямой, в этом случае говорят также, что прямая проходит через точку, а может и не принадлежать ей, в этом случае говорят, что прямая не проходит через точку .

Слайд 4

Обозначения Запись Чтение Точка A , точка B , точка C , … A , B , C , … a , b , c , … AB , CD , … Прямая a , прямая b , … Прямая AB , прямая CD , … Точка A принадлежит прямой a . Точка B не принадлежит прямой a .

Слайд 5

Вопрос 1 Какие геометрические фигуры являются основными? Ответ: Точка, прямая, плоскость.

Слайд 6

Вопрос 2 Какие объекты идеализирует точка ? Ответ: Точка является идеализацией очень маленьких объектов, т.е. таких, размерами которых можно пренебречь.

Слайд 7

Вопрос 3 Какие объекты идеализирует прямая ? Ответ: Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити, края стола прямоугольной формы, по прямой распространяется свет.

Слайд 8

Вопрос 4 Какие объекты идеализирует плоскость ? Ответ: Плоскость является идеализацией ровной поверхности воды, поверхности стола, доски, зеркала и т.п.

Слайд 9

Вопрос 5 Как Евклид определял точку? Ответ: Е вклид определял точку как то, что не имеет частей.

Слайд 10

Вопрос 6 Как изображаются точки? Ответ: Точки изображаются остро отточенным карандашом или ручкой на листе бумаги, мелом на доске и т.п.

Слайд 11

Вопрос 7 Как обозначаются точки ? Ответ: Точки обозначаются прописными латинскими буквами A , B , C , … .

Слайд 12

Вопрос 8 Как проводятся прямые? Ответ: Прямые проводятся на листе бумаги или доске с помощью линейки.

Слайд 13

Вопрос 9 Как обозначаются прямые? Ответ: П рямые обозначаются строчными латинскими буквами a, b, c, ..., или двумя прописными латинскими буквами AB, CD, ... .

Слайд 14

Вопрос 10 Какие свойства основных геометрических фигур называются аксиомами? Ответ: Аксиомами называются свойства геометрических фигур, принимаемые без доказательства.

Слайд 15

Вопрос 11 Как переводится слово «аксиома» с греческого языка? Ответ: Д остойное признания, не вызывающее сомнения

Слайд 16

Вопрос 12 Как могут располагаться друг относительно друга точка и прямая? Ответ: Точка может принадлежать данной прямой, а может и не принадлежать ей .

Слайд 17

Вопрос 13 Какое свойство принимается в качестве аксиомы взаимного расположения точек и прямой? Ответ: Через любые две точки проходит единственная прямая.

Слайд 18

Вопрос 14 Какие две прямые называются пересекающимися? Ответ: Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Слайд 19

Вопрос 15 Какие две прямые называются параллельными? Ответ: Две прямые называются параллельными, если они не имеют ни одной общей точки.

Слайд 20

Упражнение 1 Сколько прямых можно провести через: а) одну точку; б) две точки? Ответ: а) Бесконечно много; б) одну.

Слайд 21

Упражнение 2 Сколько прямых можно провести через тр и точ ки ? Ответ: Либо одну, либо ни одной.

Слайд 22

Упражнение 3 Сколько прямых изображено на рисунке? Сколько у них точек попарных пересечений? Ответ: 5 прямых, 10 точек.

Слайд 23

Упражнение 4 Сколько прямых можно провести через различные пары из тр ех точ ек, не лежащих на одной прямой ? Ответ: Три.

Слайд 24

Упражнение 5 Сколько прямых можно провести через различные пары из четырех точ ек, ни какие три из которых не лежат на одной прямой ? Ответ: 6.

Слайд 25

Упражнение 6 Сколько прямых можно провести через различные пары из пяти точ ек, ни какие три из которых не лежат на одной прямой ? Ответ: 10.

Слайд 26

Упражнение 7 Сколько прямых можно провести через различные пары из n точ ек, ни какие три из которых не лежат на одной прямой ? Решение: Пусть A 1 , …, A n – n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Зафиксируем точку A 1 . Так как число оставшихся точек равно n – 1 и через каждую из них и точку A 1 проходит одна прямая, то через точку A 1 будет проходить n – 1 прямая . Заметим, что рассуждения, проведенные для точки A 1 , справедливы для любой другой точки. Поскольку всего n точек и через каждую из них проходит n – 1 прямая, то число прямых, посчитанных для всех точек, будет равно n ( n – 1). При этом, поскольку одна прямая проходит через две точки, то каждую прямую посчита ем дважды , один раз как прямую, проходящую через одну точку, а другой – как прямую, проходящую через вторую точку. П оэтому число прямых, проходящих через различные пары из n данных точек, будет равно .

Слайд 27

Упражнение 8 Сколько различных точек попарных пересечений могут иметь три прямые? Ответ: Н и одной, одну, две, три.

Слайд 28

Упражнение 9 Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь четыре прямые? Ответ: 6.

Слайд 29

Упражнение 10 Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь пять прямы х ? Ответ: 10.

Слайд 30

Упражнение 11 Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь n прямы х ? Решение: Заметим, что наибольшее число точек попарных пересечений получается, если каждая прямая пересекается с каждой, и при этом никакие три прямые не пересекаются в одной точке. В этом случае каждая прямая имеет n – 1 точку пересечения с остальными прямыми, и мы находимся в ситуации, аналогичной ситуации задачи 7 . Имеется n прямых и на каждой прямой n – 1 точка . При этом , каждая точка принадлежит ровно двум прямым. Следовательно, число точек попарных пересечени й будет равно .