презентации для подготовки к ЕГЭ (обновлённые 2019 г.)
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)

Слайд 1

Слайд 2

Угол ACO равен 24 0 . Его сторона CA касается окружности. Найдите градусную величину большей дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах. Ответ 114 ∆ АСО –прямоугольный. ∟ С = 24 0 => ∟ АОС = 66 0 Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается. Следовательно меньшая дуга АВ = ∟АОС = 66 0 Развернутый угол D О B = 180 0 ∟ D О A = ∟ DOB - ∟ AOB = 180 0 - 66 0 ∟ D О A = 114 0 ∟ D О A измеряется дугой А D , на которую опирается Большая дуга А D окружности, заключенная внутри ∟ АСО равна 114 0

Слайд 3

АС и BD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 38 о . Найдите угол AOD . Ответ дайте в градусах. ∆ ВОС равнобедренный. ОС = ОВ = R , следовательно… ∆ ОСВ : ∟СОВ + ∟ОСВ + ∟СВО = 180 о ∟ ВСО = ∟ СВО = 38 о ∟ СОВ = 180 о – 38 о - 38 о ∟ СОВ = 104 о 38 о Ответ: 104 ∟ AOD = ∟ COB - как вертикальные ∟ AOD =104 о

Слайд 4

Угол A четырехугольника ABCD , вписанного в окружность, равен 58 о . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. Около четырехугольника окружность можно описать лишь в том случае, если сумма противоположных углов равна 180 о 58 о Следовательно ∟А + ∟С = 180 о ∟ С = 180 о - 58 о = 122 о Ответ: 122

Слайд 5

Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32 о . Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB . Ответ дайте в градусах. Ответ 64 Угол, составленный касательной и хордой, измеряется половиной дуги заключенной внутри него Следовательно: Искомая меньшая дуга, стягиваемой хордой АВ равна 32 о · 2 = 64 о 32 о

Слайд 6

Дополнительное задание Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82 0 и 58 0 . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Ответ 122 ∟ А + ∟ С = ∟ D + ∟ B = 180 0 Следовательно 82 0 и 58 0 могут быть равны только соседние углы Пусть ∟С = 82 0 и ∟В = 58 0 Так как ∟А + ∟С = 180 0 , то ∟А = 98 0 и ∟ D + ∟B = 180 0 , то ∟ D = 122 0 82 о 58 о

Слайд 7

Стороны четырехугольника ABCD AB , BC , CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95 о , 49 о , 71 о , 145 о . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. 145 о 71 о 49 о 95 о ∟ АВС опирается на дугу А DC Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается Дуга А DC равна 145 о + 71 о = 216 о ∟ АВС = 216 о : 2=108 о ∟ A ВС = 108 о Ответ: 108

Слайд 8

Центральный угол на 36 о больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах. Вписанный угол АСВ составляет половину центрального АОВ, опирающегося на туже дугу АВ Пусть ∟АСВ = х х Тогда ∟АОВ = х + 36 о Так как ∟АОВ = 2 ∟АСВ, то х + 36 о = 2х х = 36 о Ответ: 36

Слайд 9

Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах. По условию задачи АС = R , Следовательно АС = АО = СО А О С В ∆ АОС равносторонний => ∟АОС = 60 о Вписанный угол АВС составляет половину центрального АОС, опирающегося на туже дугу АС Центральный угол АОС измеряется дугой АС, на которую опирается. ∟ АВС = ½ ∟АОС ∟ АВС = 60 о : 2 = 30 о Ответ: 30

Слайд 10

Найдите хорду, на которую опирается угол 30 о , вписанный в окружность радиуса 28. 30 о В О С А Вписанный угол АВС составляет половину центрального АОС, опирающегося на туже дугу АС ∟ АОС = 60 о . Следовательно ∆АОС - равносторонний R R R Хорда АС = R = 28 Ответ: 28 Дуга АС =2 · 30 о = 60 о

Слайд 11

Радиус окружности равен 48. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную 48 √2 . Ответ дайте в градусах. 48 48√2 О По условию R =48 Хордаа АВ = 48√2 . 24√2 Рассмотрим прямоугольный ∆ АО H , где О H высота из вершины О на сторону АВ H А H = 24√2 ∆ АОВ - равнобедренный 48 sin ∟ AOH = 24√2:48 = ∟ AOH = 45 о , следовательно ∟ A ОВ = 90 о Вписанный угол АСВ составляет половину центрального АОВ, опирающегося на туже дугу АВ ∟ АСВ = 90 о : 2 = 45 о Ответ: 45

Слайд 1

Слайд 2

1.1 Найдите квадрат расстояния между вершинами С и А 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ=5, А D = 4 , AA 1 = 3 . А B D 1 C 1 B 1 А 1 D C 5 4 3 ∆ АА 1 С - прямоугольный Теоретические сведения ( А 1 С ) 2 = ( АА 1 ) 2 + ( А D) 2 + (AB) 2 ( А 1 С ) 2 = 3 2 + 4 2 + 5 2 ( АС ) 2 = 5 2 + 4 2 ( А 1 С ) 2 = 9 + 16 + 25 ( А 1 С ) 2 = 50 Из ∆ АВС по теореме Пифагора ( АС ) 2 = 2 5 + 16 = 41 Из ∆ АА 1 С по теореме Пифагора ( А 1 С) 2 = ( АА 1 ) 2 + ( АС ) 2 = 9 + 41 = 50 Ответ: 50 Вернуться к содержанию 4

Слайд 3

Теоретические сведения Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, основания которого –прямоугольники. Прямой параллелепипед- это параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны к плоскостям основания Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений в с ɑ d 2 = ɑ 2 + в 2 + c 2 d

Слайд 4

1.2 Найдите квадрат расстояния между вершинами В и D 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=5 , AD=3 , AA 1 =6 . А B D 1 C 1 B 1 А 1 D C 5 3 6 (BD 1 ) 2 = (AB) 2 + (AD) 2 + (AA 1 ) 2 Теоретические сведения (BD 1 ) 2 = (5) 2 + (3) 2 + (6) 2 (BD 1 ) 2 = 25 + 9 + 36 (BD 1 ) 2 = 70 Ответ: 70 Вернуться к содержанию

Слайд 5

1.3 Найдите квадрат расстояния между вершинами A и C 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=3 , AD=5 , AA 1 =5 . А B D 1 C 1 B 1 А 1 D C 3 5 5 ( A C 1 ) 2 = 59 (AC 1 ) 2 = (AB) 2 + (AD) 2 + (AA 1 ) 2 (AC 1 ) 2 = (3) 2 + (5) 2 + (5) 2 (AC 1 ) 2 = 9 + 25 + 25 Ответ: 59 Вернуться к содержанию

Слайд 6

2.1 Найдите расстояние между вершинами A и D 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=5 , AD=4 , AA 1 =3 . А B D 1 C 1 B 1 А 1 D C 5 4 3 (AD 1 ) 2 = (AD) 2 + (DD 1 ) 2 AD принадлежит плоскости AA 1 D 1 D AA 1 D 1 D - прямоугольник Следовательно ∆ ADD 1 - прямоугольный По теореме Пифагора: (AD 1 ) 2 = ( 4 ) 2 + ( 3 ) 2 (AD 1 ) 2 = 16 + 9 (AD 1 ) 2 = 25 AD 1 = 5 Ответ: 5 Вернуться к содержанию 3

Слайд 7

2.2 Найдите расстояние между вершинами В и С 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ = 6, AD = 6 , AA 1 = 8 . А B D 1 C 1 B 1 А 1 D C 6 6 8 BB 1 C 1 C - прямоугольник Следовательно ∆ BCC 1 - прямоугольный По теореме Пифагора: (BC 1 ) 2 = (BC) 2 + (CC 1 ) 2 (BC 1 ) 2 = (6) 2 + (8) 2 6 8 (BC 1 ) 2 = 36 + 64 (BC 1 ) 2 = 100 BC 1 = 10 Ответ: 10 Вернуться к содержанию

Слайд 8

2.3 Найдите расстояние между вершинами B и A 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB =9 , AD = 4 , AA 1 = 12 . А B D 1 C 1 B 1 А 1 D C 9 4 12 B A 1 = 15 Из прямоугольного ∆ BAA 1 по теореме Пифагора Ответ: 1 5 Вернуться к содержанию

Слайд 9

3.1 Найдите угол А BD 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5 , AD = 4 , AA 1 = 3 . Ответ дайте в градусах. А B D 1 C 1 B 1 А 1 D C 5 4 3 AD – проекция наклонной AD 1 на плоскость АВС D AD перпендикулярна AB , следовательно А D 1 перпендикулярна А B по теореме о трех перпендикулярах Теоретическая сведения ∆ АВ D 1 прямоугольный 1. D 1 В – диагональ прямоугольного параллелепипеда (D 1 В) 2 = 50 = 25∙2 ; (D 1 А) 2 = ( 3 ) 2 + ( 4 ) 2 ; β (D 1 В) 2 = (AB) 2 + (AD) 2 + (AA 1 ) 2 ; (D 1 В) 2 = ( 5 ) 2 + ( 4 ) 2 + ( 3 ) 2 D 1 В = 5 √2 β =45 о . или 2. D 1 А – гипотенуза прямоугольного ∆ AD 1 D Ответ: 45 (D 1 А) 2 = 25 ; D 1 А= 5 1. 2. Вернуться к содержанию 3. D 1 A = AB = 5 ∆ ABD 1 – прямоугольный и равнобедренный

Слайд 10

Теоретические сведения Теореме о трех перпендикулярах Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной А М β ɑ Н Прямая ɑ , проведенная в плоскости β через точку М перпендикулярно к МН (проекции наклонной), перпендикулярна АМ (наклонной)

Слайд 11

3.2 Найдите угол АС 1 В 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ=15, А D=17 , AA 1 =8 . Ответ дайте в градусах. А B D 1 C 1 B 1 А 1 D C 17 15 8 β С 1 B 1 перпендикулярна А 1 B 1 , следовательно C 1 В 1 перпендикулярна A 1 B 1 по теореме о трех перпендикулярах Теоретическая сведения ∆ AB 1 C 1 – прямоугольный. (АВ 1 ) 2 = (15) 2 + (8) 2 по теореме Пифагора из ∆ АВВ 1 С 1 В 1 = 17 АВ 1 = 17 β = 45 о ∆ AB 1 C 1 прямоугольный и равнобедренный 17 Ответ: 45 17 45 о Вернуться к содержанию 8

Слайд 12

3.3 Найдите угол B 1 DD 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=12 , AD=9 , AA 1 =15 Ответ дайте в градусах. А B D 1 C 1 B 1 А 1 D C 12 9 15 β Достроим прямоугольный треугольник B 1 DD 1 (D 1 B 1 ) 2 = (12) 2 + (9) 2 = 144 + 81 = 225 12 9 Или увидеть, что B 1 D 1 С 1 - египетский, т.е. Стороны относятся как 3 : 4 : 5 = 9 : 12 : D 1 B 1 . D 1 B 1 = 15 15 По условию DD 1 = 15 15 ∆ B 1 DD 1 -прямоугольный и равнобедренный Следовательно ∟ B 1 DD 1 = 45 o Ответ: 45 45 o Вернуться к содержанию

Слайд 13

4.1 Найдите угол С 1 ВС прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ=5, А D=4 , AA 1 =4 . Ответ дайте в градусах . А B D 1 C 1 B 1 А 1 D C 5 4 4 β Следовательно угол β равен 45 о Угол С 1 ВС принадлежит плоскости прямоугольника ВВ 1 С 1 С ∆ С 1 ВС прямоугольный и равнобедренный 4 4 Ответ: 45 Из ∆ С 1 ВС β = 45 о Вернуться к содержанию

Слайд 14

4.2 Найдите угол CBD прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 4 , AD = 4 , AA 1 = 6. Ответ дайте в градусах. А B D 1 C 1 B 1 А 1 D C 4 4 6 β ∆ CBD прямоугольный и равнобедренный ∟ CBD = 45 о Ответ: 45 Вернуться к содержанию 4 4

Слайд 15

4.3 Найдите угол DC 1 D 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5 , AD = 4 , AA 1 = 5 . Ответ дайте в градусах. А B D 1 C 1 B 1 А 1 D C 4 5 5 β 5 5 Из равнобедренного прямоугольного ∆ DC 1 D 1 ∟ DC 1 D 1 = 45 о Ответ: 45 Вернуться к содержанию

Слайд 16

5.1 Найдите угол DBD 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 4 , AD = 3 , AA 1 = 5 . Ответ дайте в градусах. А B D 1 C 1 B 1 А 1 D C 4 3 5 , β DD 1 перпендикулярна к плоскости основания => ∟ D 1 DB = 90 o B прямоугольном ∆ D 1 DB : 1. или 2. 1. Из ∆ АВ D по теореме Пифагора: 5 Ответ: 45 D 1 B - диагональ прямоугольного параллелепипеда 5 3. ∆ D 1 DB – прямоугольный и равнобедренный β = 45 о Вернуться к содержанию

Слайд 17

5.2 Найдите угол BD 1 B 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 12 , AD = 9 , AA 1 =15 . Ответ дайте в градусах. А B D 1 C 1 B 1 А 1 D C 12 9 15 , , β ∆ BD 1 B 1 - прямоугольный Найдем D 1 B 1 из прямоугольного ∆ D 1 B 1 C 1 12 9 ∆ D 1 B 1 C 1 – египетский. В котором B 1 C 1 : D 1 C 1 : D 1 B 1 = 3 : 4 : 5 =9 : 12 : 15 D 1 B 1 = 15 D 1 B 1 можно найти по теореме Пифагора из ∆D 1 B 1 C 1 И так D 1 B 1 = В 1 В = 15 15 15 В прямоугольном равнобедренном ∆ D 1 B 1 В углы при основании равны по 45 о β = 45 о Ответ: 45 Вернуться к содержанию ( D 1 B 1 ) 2 = (12) 2 + (9) 2 = 144 + 81 = 225

Слайд 18

5.3 Найдите угол АС 1 В прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ =13, А D = 12, АА 1 = 5. Ответ дайте в градусах. , , А B D 1 C 1 B 1 А 1 D 13 12 β 12 13 Из ∆ C 1 В 1 В 5 C По теореме о трех перпендикулярах ∟ C 1 ВА = 90 о Теоретические сведения 5 ∆ C 1 ВА - прямоугольный равнобедренный В ∆ C 1 ВА углы при основании равны по 45 о β = 45 о Ответ: 45 Вернуться к содержанию

Слайд 19

Скоро ЕГЭ! Еще есть время подготовиться!

Слайд 1

Слайд 2

Равенства, связывающее эти три величины: A=k·t k = A t t = k A

Слайд 3

Прототип задания (№ 26592) Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше? Пусть x деталей за один час делает 2рабочий, тогда (х+1)деталей делает за час 1рабочий x = 10 , x = -1 1 А k t 1 рабочий 110 x + 1 2 рабочий 110 x t = k A Ответ 10 Первый рабочий выполняет заказ на 1 ч быстрее, т.е. его время работы на 1 час меньше. 

Слайд 4

Прототип задания (№ 26593) Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 1 деталь больше? А k t 1 рабочий 156 х 2 рабочий 156 х - 1 Ответ 13 t = k A Первый рабочий тратит на работу на 1 ч меньше, тогда время работы второго на 1 ч больше. 

Слайд 5

Прототип задания (№ 26594) На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий? Х -число деталей, которые изготавливает за час первый рабочий, Х - 3 – число деталей, которые изготавливает за час второй рабочий. : 3 Ответ 25

Слайд 6

х +1 х k, дет./час 1 2 А, дет. t , ч < на 2 час . 99 110 99 x+1 110 х Прототип задания (№ 26595) На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий? Ответ 10 < на 2 час . 2 + =

Слайд 7

Прототип задания (№ 26596) х , у -объемы работ, которые выполняет за день 1 и 2 рабочий соответственно. Полный объем работ примет за 1 (единицу) 2х=3у Тем самым 1 рабочий за день выполнит одну двадцатую часть всей работы. Значит работая отдельно, он справится с ней за 20 дней. Ответ 20 12(х+у)=1 Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня? · 6 - ИЛИ

Слайд 8

Прототип задания (№ 26596) Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня? А t k( в день) 1рабочий 1 2 рабочий 1 Пусть 1-ый рабочий один выполнит работу за Х дней, а 2-ой рабочий один выполнит работу за У дней. Нам надо найти Х. Первый в день выполнит часть работы, 2-ой часть работы, а вместе часть работы Полный объем работ примет за 1 (единицу) Х У Первый за 2 дня выполнит часть работы, а 2-ой за 3 дня часть работы. 1рабочий 2 рабочий 2 3 Ответ 20 ИЛИ

Слайд 9

1 у 3 12 Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня? Реши систему уравнений самостоятельно х 2 A = 1 1 2 1 1 , часть A х у , дн. t 1 х , часть/дн. v у 1 Вопрос задачи поможет нам ввести х и у справка справка 1 х 1 у + v совм = = 1 справка справка t = 12 1 х 1 у + справка справка 3 у A 1 = A 2 = 1 х 2 = = t A v = Выразим скорость работы, для этого работу : время  За 12дней, работая вместе, рабочие выполнили работу, т.е. 1 часть  Найдем работу, которую выполнит I й раб. за 2 дн. по формуле A = vt  Найдем работу, которую выполнит II й раб. за 3 дн. по формуле A = vt  Формула A = vt поможет нам составить уравнение Скорость совместной работы находим сложением скоростей  Ответ: 20  Прототип задания (№ 26596)

Слайд 10

Прототип задания (№ 26597) Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба? Ответ 10 х х+1 k, л./мин. 1 2 А, дет. t , ч 110 110 110 x 110 х+1 > на 1 мин. Первая труба заполняет резервуар V=110 на 1 мин дольше, то вторая труба заполняет резервуар на 1 минуту быстрее.  Подсказка для введения х t = k A > + =

Слайд 11

Прототип задания (№ 26598) х х+1 k, л./мин. 1 2 А, дет. t , ч 110 110 110 x 110 х+1 Подсказка для введения х Чтобы найти время надо работу разделить на скорость t = k A х на 1 мин < x x(x+1) x+1 Ответ 11 Вторая труба пропускает (х+1)=11л в минуту Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?

Слайд 12

Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров? Прототип задания (№ 26599) х-1 х k, л./мин. 1 2 А, дет. t , ч. 110 99 110 x -1 99 х Чтобы найти время надо работу разделить на скорость t = k A х на 2 мин < Первая труба пропускает 10 литров Ответ 10 k, л./мин. А, дет. t ,ч. 1 х 2 х+1 110 99 ИЛИ

Слайд 13

Прототип задания (№ 26600) Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров? k, л./мин. А, дет. t ,ч. 1 х-5 2 х 500 375 на10 мин. быстрее Значит времени потрачено меньше < < Чтобы найти время надо работу разделить на скорость t = k A х :5 Ответ 25

Слайд 1

Слайд 2

Найдите (в см2) площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см Х 1 см (см. рис.)В ответе запишите S /п . Формула площади круга: S = π r² R = 2. R S = π R² = π · 2 ² = 4 π r = 1. r S = π r² = π · 1 ² = π S = π R²- π r² = 4 π - π =3 π S / π = 3 π / π = 3 Ответ: 3

Слайд 3

Найдите (в см 2 ) площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см Х 1 см (см. рис.).В ответе запишите S /п . А О В Формула площади круга: S = π r² S = π R²- π r² r R ОВ = r радиус меньшего круга ОА = R - радиус большего круга Из прямоугольного ∆ОАС: С ОА ² = СА ² + ОС ² ; ОА ² = 2 ² + 2 ² ; 2 2 ОА ² = 8 => R² = 8 ОВ ² = 1 ² + 1 ² ; r² = 2 S = π 8 - π 2 S = 6 π S / π = 6 π / π = 6 Ответ: 6 Прототип : 245008

Слайд 4

Найдите (в см2) площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см Х 1см (см. рис.).В ответе запишите S /п. R 2 4 R² = 2 ² + 4 ² ; R² = 20 S = π R² = π · 20 S = π r² = π · 9 r = 3 r S = π R²- π r² = 20 π - 9 π = 11 π Ответ:11 S / π = 11 π / π = 11

Слайд 5

Найдите (в см2) площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см Х 1 см (см. рис.).В ответе запишите S /п . 4 R 2 R² = 2 ² + 4 ² ; R² = 20; S = π R² = 20 · π ; r 1 3 S = π r² = π · 10 = 10 π r² = 1 ² + 3 ² ; r² = 10; S = π R²- π r² = 20 π - 10 π = 10 π Ответ:10

Слайд 6

Еще есть время подготовиться!

Слайд 1

Слайд 2

Биссектриса внутреннего угла треугольника - отрезок прямой, делящей данный угол на две равные части, соединяющий вершину угла с точкой на противоположной стороне А В С М β β ВМ - биссектриса

Слайд 3

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов рана 90 о ┐ ɑ β Сумма всех углов в треугольнике равна: 90 о + ɑ + β = 180 о ɑ + β = 180 о – 90 о ɑ + β = 90 о

Слайд 4

Острые углы прямоугольного треугольника равны 29 о и 61 о . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах 29 о 61 о По условию ∟АСВ = 90 о ; CD - биссектриса ∟ А CD = ∟ BCD = 45 o 45 o 45 o ∆ АСН – прямоугольный . ∟ А C Н = 90 о – 29 о = 61 о 61 о Искомый ∟ DC Н = 61 о – 45 о = 16 о 16 о 2 способ решения: ∆ ВСН – прямоугольный. ∟ В C Н = 90 о – 61 о = 29 о 29 о Искомый ∟ DC Н = 45 о – 29 о = 16 о Ответ: 16 1.1

Слайд 5

Острые углы прямоугольного треугольника равны 86 о и 4 о . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах 86 о CD – биссектриса прямого угла прямоугольного ∆ АВС. ═ > ∟ А CD = ∟ BCD = 45 o 45 o 4 о В прямоугольном ∆АСН: ∟А C Н = 90 о – 4 о = 86 о 86 о Искомый ∟ DC Н = 86 о – 45 о = 41 о Ответ: 41 1.2

Слайд 6

Острые углы прямоугольного треугольника равны 69 о и 21 о . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах 21 о В прямоугольном ∆ ВСН: ∟ВСН = 90 о – 69 о = 21 о 69 о 21 о CD – биссектриса прямого угла прямоугольного ∆ АВС. 45 o Искомый ∟ DC Н = 45 о – 21 о = 24 о Ответ: 24 1.3

Слайд 7

Острые углы прямоугольного треугольника равны 53 о и 37 о . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах 53 о 53 о 37 о В прямоугольном ∆ АСН: ∟АСН = 90 о – 37 о = 53 о Запомнить : Высота опущенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника разбивает треугольник на два подобных прямоугольных треугольника. CD – биссектриса прямого угла прямоугольного ∆ АВС. 45 o Искомый ∟ DC Н = 53 о – 45 о = 8 о Ответ: 8 8 о ∆ АСН ≈ ∆ ВСН 1.4

Слайд 8

Острые углы прямоугольного треугольника равны 67 о и 23 о . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах 67 о 23 о Теоретические сведения Подсказка Решение 45 о 45 о ∟ А DC = 112 о ; ∟ CDH = 68 о B прямоугольном ∆ DCH : ∟ DC Н = 90 – 68 = 2 2 о Ответ: 22 112 о 1.5

Слайд 9

Еще есть время подготовиться!

Слайд 1

Слайд 1

Слайд 2

Прототип задания B11 (№ 245353) Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3. C D E F S B A 3 3 6 6 3 3 Решение: Формула объема пирамиды: Рассмотрим основание пирамиды. Отрезок ВЕ разбивает основание на две равные трапеции. Площадь каждой трапеции равна: S основ = 2 ∙ 13,5 = 27 = 13,5 Высота пирамиды равна 3 . Ответ: 27

Слайд 3

Теоретические сведения Формула площади трапеции: А В С D a b h H ABCD - трапеция ВН - высота

Слайд 4

Задание B11 (№ 269543) Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 8. C D E F S B A 3 6 8 4 3 Решение: Формула объема пирамиды: Рассмотрим основание пирамиды . Отрезки разбивают основание на три равных прямоугольника, со сторонами 3 и 4 Площадь каждого прямоугольника равна: Высота пирамиды равна 8. Ответ: 96 Прототип (№ 245353) 4 3 8 8 6 4 S = 3 ∙ 4 =12 S основ = 3 ∙ 12 = 36

Слайд 5

Теоретические сведения Формула площади прямоугольника: S = a ∙ b b a a – длина прямоугольника b - ширина прямоугольника

Слайд 6

Задание B11 (№ 270037) Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 7. Прототип (№ 245353) 1 6 8 5 1 7 3 5 Вынесем отдельно основание пирамиды Площадь основания состоит из площадей трех прямоугольников S основ = 1∙ 3 +6 ∙ 3 + 6 ∙ 5 = 51 Высота пирамиды равна 7. Ответ: 119

Слайд 7

Скоро ЕГЭ! Еще есть время подготовиться!

Слайд 8

Автор: Зенина Алевтина Дмитриевна учитель математики Использованы материалы сайтов: http://www.mathege.ru:8080/or/ege/Main.html?view=Pos http://live.mephist.ru/show/mathege2010/view/B1/solved/

Слайд 2

Найдите наименьшее значение функции . . Ответ: 16

Слайд 3

Найдите наименьшее значение функции . Ответ: 36 .

Слайд 4

Найдите наименьшее значение функции . Ответ: 625